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Zbl 0616.65072
Butcher, J.C.
The numerical analysis of ordinary differential equations. Runge-Kutta and general linear methods. (English)
[B] A Wiley-Interscience Publication. Chichester etc.: John Wiley \& Sons. XV, 512 p. \sterling 38.50 (1987).

Der Verfasser dieses Buches hat die heute vorliegende Theorie der Näherungsverfahren für Anfangswertaufgaben gewöhnlicher Differentialgleichungen während der letzten 25 Jahre entscheidend mitgeprägt. In der jetzt erschienenen Monographie ist diese langjährige Arbeit zu einem Ganzen über die Theorie der Runge-Kutta- Verfahren und der umfassenderen Klasse allgemeiner linearer Methoden geronnen. Es ist erstaunlich zu sehen, wie jede Seite (die letzten 100 Seiten ausgenommen, die eine erschöpfende Bibliographie der bis zum Jahre 1982 erschienenen Arbeiten beinhalten) die ganz persönliche Handschrift des Verfassers zum Ausdruck bringt, und zwar sowohl im Inhalt als auch in der Form der Darstellung. Und bei beiden sticht eine besondere mathematische Eleganz ins Auge. Die vorgeführten Beweise vermitteln den Eindruck, dass es kürzer und prägnanter nicht mehr geht. Es ist ein Vergnügen, dieses Buch zur Hand zu nehmen. \par Das hervorstechende Kapitel ist der Analysis der Runge-Kutta-Verfahren gewidmet. Auf 183 Druckseiten (von den nach Abzug der Bibliographie verbliebenen 407 Seiten) werden die Ordnungsbedingungen für explizite und implizite Verfahren in sehr transparenter Weise abgehandelt, die verschiedenen Stabilitätsbegriffe (A-, AN-, nichtlineare und algebraische Stabilität) und ihre Zusammenhänge untereinander werden dargestellt, Methoden zur Fehlerschätzung werden angegeben. In einem Abschnitt wird der Raum der Runge-Kutta-Verfahren mit seinen algebraischen Eigenschaften studiert. Die benötigten Begriffe aus der Graphentheorie und auch weitere grundlegende Tatsachen aus der Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichungen, der Differenzengleichungen und der numerischen Approximation sind im 1. Kapitel (104 S.) enthalten. Im zweiten Kapitel (47 S.) führt der Verf., ausgehend vom Euler- Verfahren, in sinnfälliger Weise die verschiedenen bekannten Verfahrenstypen ein. \par Die Spannweite des Buches wird wesentlich erweitert durch das vierte Kapitel (73 S.) über allgemeine lineare Methoden. Sie sind von der Gestalt $$ y\sb i\sp{(n)}=\sum\sp{N}\sb{j=1}a\sb{ij}y\sb j\sp{(n- 1)}+h\sum\sp{N}\sb{j=1}b\sb{ij}f(y\sb j\sp{(n)})+h\sum\sp{N}\sb{j=1}c\sb{ij}f(y\sb j\sp{(n-1)}), $$ i$=1,2,...,N$. In dieser Klasse sind Runge-Kutta-Verfahren, lineare Mehrschrittverfahren, Prädiktor-Korrektor-Verfahren, One-leg-Methoden, zyklische Verfahren als Spezialfall enthalten. Es ist in keiner Weise evident, wie für diesen Fall die Begriffe der Konsistenz, Ordnung des Verfahrens zu fassen sind. Der Verfasser stellt seinen algebraisch orientierten Zugang zu diesen Fragen ausführlich dar und wendet sich dann den verschiedenen existierenden Stabilitätsbegriffen auch für diese Klasse zu. \par Das vorliegende Buch sollte in keiner einschlägigen Bibliothek fehlen, wenn es auch weiterer bedarf, um die Sichtweisen der Materie durch andere Autoren verfügbar zu haben.
[R.D.Grigorieff]

MSC 2000:: *65L05 Initial value problems for ODE (numerical methods)
65-02 Research monographs (numerical analysis)
34A34 Nonlinear ODE and systems, general
65J99 Numerical analysis in abstract spaces
39A10 Difference equations
65L20 Stability of numerical methods for ODE
34A12 Initial value problems for ODE

Keywords: advanced exposition; Runge-Kutta methods; bibliography; linear methods; order conditions; explicit and implicit methods; nonlinear stability; algebraic stability; error estimates; linear multistep methods; predictor-corrector methods; one-leg methods; cyclic methods; consistency

Cited in: Zbl 1182.65115 Zbl 1059.65066 Zbl 1040.65057 Zbl 0976.65067 Zbl 0927.65093 Zbl 0956.65058 Zbl 0906.65077 Zbl 0906.65078 Zbl 0789.65048 Zbl 0745.65049 Zbl 0717.65050 Zbl 0683.65050 Zbl 0682.65042 Zbl 0638.65058

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