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On the uniqueness of Haar series convergent in the metrics of \(L_ p[0,1]\), \(0<p<1\), and in measure. (English. Russian original) Zbl 0603.42025

Math. USSR, Sb. 54, 99-111 (1986); translation from Mat. Sb., Nov. Ser. 126(168), No. 1, 101-114 (1985).
Sei (1) \(\sum^{\infty}_{n=1}a_ n\chi_ n(x)\) eine Reihe nach dem Haarschen System und \(S_ n(x)=\sum^{n}_{k=1}a_ k\chi_ k(x)\) ihre Partialsummen. Wenn \(\liminf_{n\to \infty}(\| S_ n\|_ p/n^{p-1})=0\) gilt, dann sind alle Koeffizienten der Reihe (1) gleich Null, und dem gegenüber existiert eine Reihe (1) derart, daß nicht alle ihre Koeffizienten gleich Null sind und dabei die Beziehung \(\| S_ n\|_ p=O(1/n^{1-p})\) erfüllt ist; hier bedeutet \(\| \|_ p\) die Norm im Raum \(L_ p[0,1]\), \(0<p<1.\)
In der vorliegenden Arbeit werden ähnliche strenge Abschätzungen im Falle der Konvergenz dem Maß nach, d.h. für \(p=0\), abgeleitet. Ferner sind Formeln aufgestellt, die es gestatten die Koeffizienten der Reihe (1) derart zu bestimmen, daß die Eindeutigkeit der Reihe im Sinne der Konvergenz ihrer Partialsummen nach der Metrik im Raum \(L_ p[0,1]\), \(0\leq p<1\), gewährleistet ist.
Reviewer: J.Matušů

MSC:

42C15 General harmonic expansions, frames

Keywords:

Haar’s system
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