Simple Search

Query:

Enter a query and click »Search«...

Format:

Display: entries per page entries

Zbl 0576.57021
Ver Eecke, Paul
(Eecke, P.ver)
Sur le groupe fondamental d'un feuilletage. (On the fundamental group of a foliation). (French)
[J] Cah. Topol. Géom. Différ. Catégoriques 25, 381-428 (1984). ISSN 0008-0004

Soit ${\cal F}\sp{\chi}$ l'ensemble des sous-variétés transverses, connexes et simplement connexes, d'une variété feuilletée connexe (V,${\cal F})$. Pour $\Sigma\sb 0, \Sigma \in {\cal F}\sp{\chi}$, l'ensemble $\overline{Hol}\sb{\Sigma\sb 0\Sigma}({\cal F})$ des $(\Sigma\sb 0,\phi\sb 0,\Sigma\sb 1,...,\phi\sb{n-1},\Sigma\sb n)$, où $\Sigma\sb i\in {\cal F}\sp{\chi}$, $\Sigma\sb n=\Sigma$, et où $\phi\sb i$ appartient à l'ensemble $Hol\sb{\Sigma\sb i\Sigma\sb{i+1}}({\cal F})$ des germes de difféomorphismes d'holonomie de $\Sigma\sb i$ vers $\Sigma\sb{i+1}$, est non vide et muni d'une relation d'équivalence $\rho$ engendrée par la relation suivante: $(\Sigma\sb 0,\phi\sb 0,...,\phi\sb{n-1},\Sigma\sb n)\sim (T\sb 0,\psi\sb 0,...,\psi\sb{m-1},T\sb m)$ si $m=n+1$ et s'il existe $i\sb 0\in \{0,...,n-1\}$ et $\phi '\in Hol\sb{\Sigma\sb{i\sb 0}T\sb{i\sb 0+1}}({\cal F})$, $\phi ''\in Hol\sb{T\sb{i\sb 0+1}\Sigma\sb{i\sb 0+1}}({\cal F})$ composables, tels que $\Sigma\sb i=T\sb i$ pour $0\le i\le i\sb 0$, $\Sigma\sb i=T\sb{i+1}$ pour $i\sb 0<i\le n$, $\phi\sb i=\psi\sb i$ pour $0\le i<i\sb 0$, $\phi\sb i=\psi\sb{i+1}$ pour $i\sb 0<i<n$, $\phi\sb{i\sb 0}=\phi '\phi ''$ et tels que $\phi$ ', $\psi$ ${}\sb{i\sb 0}$ (resp. $\phi$ '', $\psi$ ${}\sb{i\sb 0+1})$ appartiennent à la même composante connexe de $Hol\sb{\Sigma\sb{i\sb 0}T\sb{i\sb 0+1}}({\cal F})$ (resp. $Hol\sb{T\sb{i\sb 0+1}\Sigma\sb{i\sb 0+1}}({\cal F}))$, muni de sa topologie étalée usuelle au dessus de $\Sigma\sb{i\sb 0}$ (resp. $T\sb{i\sb 0+1})$. Pour $x\sb 0, x\in V$ fixés, on a sur $\cup\sb{\Sigma\sb 0, \Sigma \in {\cal F}\sp{\chi} \Sigma\sb 0\ni x\sb 0, \Sigma \ni x}Hol\sb{\Sigma\sb 0\Sigma}({\cal F})/\rho$ une relation d'équivalence naturelle dont le quotient sera désigné par $\pi\sb{x\sb 0x}({\cal F}).$ \par On a sur $\pi$ (${\cal F})=\cup\sb{x\sb 0,x\in V}\pi\sb{x\sb 0x}({\cal F})$ une structure naturelle de groupo\" ide de Lie galoisien transitif sur V, dont le groupe structural n'est autre que celui du schéma de variété associé à (V,${\cal F})$ par {\it W. van Est} [Astérisque 116, 235-292 (1984; Zbl 0543.58003)]. On a un foncteur naturel surjectif $\pi$ (V)$\to \pi ({\cal F})$ à travers lequel $p\sb*: \pi (V)\to \pi (V/{\cal F})$, induite de l'application canonique p de V sur l'espace des feuilles V/${\cal F}$, se projette en un foncteur $\pi$ (${\cal F})\to \pi (V/{\cal F})$; si ${\cal F}$ est simple, ce foncteur est une équivalence. Un morphisme $f: V\to W$ transverse à un feuilletage ${\cal F}$ induit un foncteur $f: \pi$ (f${}\sp{-1}({\cal F}))\to \pi ({\cal F})$ qui est une équivalence dans le cas où f est une surmersion à fibres connexes. Si $\alpha$ (resp. $\beta)$: $\pi$ (${\cal F})\to V$ est le morphisme source (resp. but) la restriction, pour $x\sb 0\in V$ fixé, $\beta\sb{x\sb 0}$ de $\beta$ à $\pi\sb{x\sb 0}$, (${\cal F})=\{\Phi \in \pi ({\cal F})\vert \alpha (\Phi)=x\sb 0\}$ est un revêtement connexe, $\pi (\beta\sp{-1}\sb{x\sb 0}({\cal F}))$ est trivial et l'holonomie de $\beta\sp{-1}\sb{x\sb 0}({\cal F})$ est le noyau d'un foncteur naturel Hol(${\cal F})\to \pi ({\cal F})$ où Hol(${\cal F})$ est le groupo\" ide d'holonomie de ${\cal F}.$ \par Ultérieurement, l'A. a défini un foncteur $\pi$ (${\cal F})\to \pi (B Hol({\cal F}))$, identifiant canoniquement $\pi$ (${\cal F})$ à un sous-$groupo\ddot ide$ plein du groupo\" ide de Poincaré du classifiant B Hol(${\cal F})$ du groupo$\dddot ide$ topologique Hol(${\cal F})$ [C. R. Acad. Sci., Paris, Sér. I 300, 639-642 (1985)] et a étendu la définition et les propriétés essentielles de $\pi$ (${\cal F})$ au cas d'un feuilletage singulier de Stefan [ibid. 301, 837- 840 (1985)].

MSC 2000:: *57R30 Foliations; geometric theory
57R32 Classifying spaces for foliations
55R35 Classifying spaces of groups and H-spaces
58H10 Cohomology of classifying spaces for pseudogroup structures

Keywords: fundamental group of the space of leaves; holonomy groupoid of a; foliation; classifying space of the holonomy groupoid

Citations: Zbl 0543.58003

Cited in: Zbl 0615.57015

Comment on this Item PDF MathML XML ASCII DVI PS BibTeX Online Ordering Article Article

	Scientific prize winners of the ICM 2010
	Overhang
	Lie groups, physics and geometry. An introduction for physicists, engineers and chemists.

Simple Search

Zentralblatt MATH Berlin [Germany]