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Mapping properties of nonlinear operators generated by \(\Phi (u)=| u| ^{\rho}\) and by holomorphic \(\Phi\) (u) in function spaces of Besov-Hardy-Sobolev type. Boundary value problems for elliptic differential equations of type \(\Delta u=f(x)+\Phi (u)\). (English) Zbl 0573.35032

In der vorliegenden Arbeit werden nichtlineare elliptische Differentialgleichungen der Form \[ (1)\quad \Delta u=f(x)+| u|^{\rho}\quad (\rho >0)\quad und\quad (2)\quad \Delta u=\Phi (u) \] in genügend regulären beschränkten Gebieten \(\Omega \subset {\mathbb{R}}^ n\) bzw. im \({\mathbb{R}}^ n\) betrachtet. Dabei ist \(\Phi\) (u) eine ganze Funktion. Gesucht sind Lösungen \(u=u(x)\) dieser Gleichungen mit \(u|_{\partial \Omega}=0\) (Dirichletsches Randwertproblem) bzw. \((\partial u/\partial \nu)|_{\partial \Omega}=g(x)+| u|^{\delta}_{\partial \Omega}\) \((\delta >0)\) (inhomogenes Neumannsches Randwertproblem), die in den Funktionenräumen \(B^ s_{p,q}(\Omega)\) bzw. \(F^ s_{p,q}(\Omega)\) liegen. Die Lösung dieser Randwertaufgaben wird mit Hilfe des Schauderschen Fixpunktsatzes auf Aussagen über die Abbildung \(u\to | u|^{\rho}\) und \(U\to \Phi (u)\) in \(B^ s_{p,q}(\Omega)\) und \(F^ s_{p,q}(\Omega)\) zurückgeführt. Der Verf. weist darauf hin, daß mit seinen Methoden wesentlich allgemeinere Differentialoperatoren und Nichtlinearitäten in den Gleichungen sowie in den Randbedingungen behandelt werden können.
Reviewer: E.Heinz

MSC:

35J65 Nonlinear boundary value problems for linear elliptic equations
35A05 General existence and uniqueness theorems (PDE) (MSC2000)
46E35 Sobolev spaces and other spaces of “smooth” functions, embedding theorems, trace theorems
47H10 Fixed-point theorems
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References:

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