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Zbl 0569.14003
Kraft, Hanspeter
Geometrische Methoden in der Invariantentheorie. (German)
[B] Aspects of Mathematics, Bd. D1. Braunschweig-Wiesbaden: Friedr. Vieweg \& Sohn. X, 308 S. (1984).

Während der letzten zwanzig Jahre hat die Invariantentheorie eine Renaissance erlebt. Vor allem die geometrischen Methoden traten in den Vordergrund. Das vorliegende Buch führt in die Theorie der algebraischen Transformationsgruppen ein und bespricht alte und neue Probleme der Invariantentheorie. Dabei werden viele Ergebnisse beschrieben, die bisher nur verstreut in Zeitschriftenartikeln zu finden waren. Durch den Verzicht auf grösstmögliche Allgemeinheit (alle Varietäten sind über ${\bbfC}$ definiert, manche Beweise werden nur für die Gruppe GL(n,${\bbfC})$ geführt) gelingt es dem Autor, die wesentlichen Ideen zu vermitteln und den Leser rasch an aktuelle Forschungsgebiete heranzuführen. \par Im Kapitel I ("Einführende Beispiele", 44 Seiten) werden Klassifikations- und Normalformenprobleme (Quadratische Formen, Konjugationsklassen, Invarianten mehrerer Vektoren, ternäre kubische Formen) betrachtet und geometrisch interpretiert, um die folgenden Kapitel zu motivieren. - Das Kapitel II ("Gruppenoperationen, Invariantenringe und Quotienten", 97 Seiten) bringt zunächst Grundlagen über affine algebraische Gruppen und deren Darstellungen. Im Hauptteil dieses Kapitels wird bewiesen, dass bei einer regulären Darstellung einer reduktiven Gruppe G die Algebra der invarianten Polynomfunktionen endlich erzeugt ist. Damit können die Invariantenalgebra geometrisch gedeutet und "algebraische Quotienten" nach reduktiven Gruppen gebildet werden. Im Abschnitt 3.4 wird ein Kriterium für Quotienten angegeben, das zusammen mit dem Normalitätskriterium aus Kapitel III, Abschnitt 3.3 eine sehr nützliche und elegante Methode zur Bestimmung von Invariantenalgebren reduktiver Gruppen ergibt. Als Anwendung wird der klassische "1. Fundamentalsatz für GL(n,${\bbfC})''$ in geometrischer Formulierung bewiesen. - Im Kapitel III ("Darstellungstheorie und die Methode der U-Invarianten", 82 Seiten) werden zuerst die wichtigsten Sätze der Darstellungstheorie und das Hilbert-Mumford-Kriterium für GL(n,${\bbfC})$ bewiesen und für beliebige reduktive Gruppen formuliert. Dann wird die Methode der U-Invarianten (U ist eine maximale unipotente Untergruppe einer reduktiven Gruppe) behandelt und auf Normalitätsfragen und Multiplizitätenprobleme angewendet. Den Abschluss bildet die Klassifikation aller affinen normalen SL(2,${\bbfC})$-Einbettungen, das sind affine normale SL(2,${\bbfC})$- Varietäten, die eine zu SL(2,${\bbfC})$ isomorphe dichte Bahn enthalten. \par Im Anhang I ("Einige Grundlagen aus der algebraischen Geometrie", 52 Seiten) sind die zum Verständnis des Buches nötigen Begriffe und Ergebnisse aus der algebraischen Geometrie zusammengestellt. - Im Anhang II ("Lineare Reduktivität der klassischen Gruppen", 10 Seiten) wird mit dem "Weyl'schen unitären Trick" bewiesen, dass die Darstellungen der klassischen Gruppen vollständig reduzibel sind.
[F.Pauer]

MSC 2000:: *14L24 Geometric invariant theory of group schemes
14L30 Group actions on varieties or schemes
14-02 Research monographs (algebraic geometry)
20-02 Research monographs (group theory)
20G05 Representation theory of linear algebraic groups
15A72 Vector and tensor algebra
57S25 Groups acting on specific manifolds

Keywords: algebra of invariant polynomials; algebraic quotients of reductive groups; Hilbert-Mumford group; representation of classical groups

Cited in: Zbl 1023.13006 Zbl 0669.14004 Zbl 0612.14009 Zbl 0669.14003

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	Scientific prize winners of the ICM 2010
	Overhang
	Lie groups, physics and geometry. An introduction for physicists, engineers and chemists.

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