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Eratosthenes on the “Measurement” of the Earth. (English) Zbl 0557.01002

Das Verhältnis des horizontalen Schattens von Gnomon in der Sonnenuhr zur Länge des Gnomons war zu Alexandria am Mittag zu Eratosthenes Zeiten zu 1/8 bestimmt. Um die Differenz zwischen den Breiten der Städte Syene (heutiges Asuan) und Alexandria zu bestimmen, deren Kenntnis für die Bestimmung des Ausmaßes des Umkreises der Erdkugel notwendig war, mußte Eratosthenes mit Hilfe dieses Verhältnisses das Verhältnis bestimmen, das der unbekannte Kreisbogen, dessen Länge der Länge des horizontalen Schattens von Gnomon entsprach, und dessen Radius gleich der Länge des Gnomons war, zum Kreis mit diesem Radius hatte. Modern ausgedrückt, mußte Eratosthenes \(\arctan \tan 1/8\) auffinden. Es entsteht die Frage: mit welcher Methode hat er diese Aufgabe gelöst?
Verf. widmet sich in seiner Arbeit dieser Frage und hat eine interessante Rekonstruktion von Eratosthenes’ Methode dargeboten. Er stützt seine Rekonstruktion auf die Kenntnis der alten Griechen der Tatsache, daß die Kathete, die gegen den Winkel von 30\(\circ\) liegt, gleich 1/2 der Hypotenuse ist. Folglich kannten sie auch das Verhältnis der Katheten in diesem Dreieck. Also war ihnen der Wert tan 30\(\circ\) bekannt. Mittels einer einfacheren geometrischen Figur, die, wie Verf. vermutet, dem Eratosthenes bekannt war, findet Verf. mit Hilfe (freilich ziemlich komplizierter, aber für Eratosthenes – des Zeitgenossen des Archimedes – zugänglicher) angenäherter Rechnungen, in denen er Herons Formel \(\sqrt{a^ 2+b}\approx a+b/2a\) anwendet, die angenäherten Werte \(\tan 1/2 30\circ =15\circ\) und \(\tan 1/2 15\circ =7 1/2\circ =1/48\) des Kreises. Der gefundene angenäherte Wert tan 7 1/2\(\circ\) ist eine sehr gute Annäherung 5/38. Weil man bei kleinen Winkeln die lineare Interpolation anwenden kann, findet Verf. aus der angenäherten Gleichung (1/8)/(5/38)\(\approx y/(1/48)\), wo y das gesuchte angenäherte Verhältnis des unbekannten Kreisbogens zum Kreis ist, dieses gesuchte angenäherte Verhältnis: \(y\approx 19/960\approx 1/50,5\). Da Eratosthenes den Abstand zwischen Syene und Alexandria gleich 5000 griechischer stadiorum annimmt, ist der Umkreis der Erdkugel annähernd \(5000\cdot 50,5=252500\) stadiorum gleich. Diese Zahl kann man bis zu 252000 abrunden, und so erhält Verf. für den Umkreis der Erdkugel die berühmte Eratosthenes Zahl 252000 stadiorum.
Verf. glaubt, daß dieses Resultat in Widerspruch zu dem Bericht des Kleomedes steht, daß Eratosthenes anfangs die Zahl 250000 erhielt und später die Zahl 252000. Deshalb glaubt er, daß Kleomedes (oder seine Quelle) die Tätigkeit des Eratosthenes in dieser Hinsicht falsch interpretiert. Aber in Wirklichkeit steht das Resultat des Verf. in keinem Widerspruch zu dem Bericht des Kleomedes. Weil Eratosthenes das einfachste Abrunden \(y\approx 1/50\) als die erste Annäherung betrachten konnte und als die zweite, kompliziertere, aber genauere Annäherung, konnte er das Abrunden \(y\approx 1/50,4\) betrachten, das den Wert 252000 stadiorum liefert. Kleomedes spricht vom Schatten an der skaphe. Aber er sagt nicht, daß das Verhältnis 1/50 durch Messung dieses Schattens erhalten wurde. Und weil er zweifellos wußte, daß die Meßinstrumente die Differenz \(1/50-1/50,4=1/6300\) nicht messen konnten, spricht er nicht von Messung, sondern von Rechnung. Der Schluß des Verf., daß die Erdmessung des Eratosthenes nicht auf präzisen Beobachtungen, sondern auf geschätzten Entfernungen und Verhältnissen, sowie auf Näherungsverfahren beruhte, entspricht zweifellos der Wahrheit. Möglich ist auch, daß die Rekonstruktion des Verf. nicht weit von der Wahrheit entfernt ist.
Reviewer: M.E.Paiow

MSC:

01A20 History of Greek and Roman mathematics

Biographic References:

Eratosthenes
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