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JFM 05.0088.01
Mathieu, E.
About a five times transitive function of 24 quantities. (Sur la fonction cinq fois transitive de 24 quantités.) (French)
[J] Liouville J. (2) XVIII. 25-47 (1873).

Das Princip, aus dem die in der Abhandlung gegebenen Resultate entspringen, ist folgendes: Sind $p$ und $q=\frac{p-1}{2}$ Primzahlen, $x_2=x_1$, wenn $z\equiv z_1\pmod{.\,p}$, so giebt es transitive Functionen der $p$ Grössen $x_0, x_1,\cdots x_{p-1}$, die für die Substitutionen $(0,1,\cdots p-1)$ und $(1,g^2,g^4,\cdots)(g,g^3,\cdots)$ unveränderlich sind; $g$ bedeutet dabei eine primitive Wurzel von $p$. Daraus folgt die Unveränderlichkeit für die Substitutionen $(z,a^2z+b)$. Setzt man nun $(x_1,x_{g^2},x_{g^4},\cdots)(x_g,x_{g^3},\cdots)=(x_0',x_1\cdots x_{q-1}')(x_0'',x_2'',\cdots {x''}_{q-1})$, indem man $x_1=x_c'$, $x_{g^2}=x_2'$, $x_{g^4}=x_3',\cdots$ setzt, so kann man die $x_g,x_{g^3}\cdots$ auf $q$ Arten mit den $x''$ identificiren. Nun muss aber die für letztere Substitution unveränderliche transitive Function auch für die aus den $p-3$ Grössen gebildete Substitution $(x_2',x_\gamma' u_z) (x_z'',x_\gamma'' u_z)$ unveränderlich sein, wo $\gamma$ eine primitive Wurzel von $q$, und $u$ ein Theiler von $q-1$ und kleiner als $q-1$ ist, und die Indices nach dem Modul $q$ genommen werden. Je nachdem nun die $x''$ mit den $x_g, x_{g^3},\cdots$ in Beziehung gesetzt werden, kann man möglicherweise verschiedene Gruppen und Functionen erhalten. Die durch dieses Princip erlangten Resultate sind folgende:\par Es giebt eine zweifach transitive Function von 7 Grössen, welche 30 Werthe hat und durch die Substitutionen $(x_0,x_1\cdots x_7)$ und $(x_2 x_4)(x_6 x_5)$ characterisirt ist. Fügt man eine der Substitutionen $\left(z,\frac {Az+B}{Cz+D}\right)$, für die $AD-BC$ quadratischer Rest $(\mod 7)$ ist und welche $x_\infty$ enthält, dazu z. B. $$\left(z,-\frac{1}{z}\right)=(0,\infty)(1,6)(2,3)(4,5),$$ so erhält man eine dreifach transitive Function.\par Aehnlich giebt es eine zweifach transitive Function von 11 Grössen mit 60480 Werthen unveränderlich für $(x_{01},\cdots x_{10})$ und $(x_1,x_3)(x_5,x_9)(x_{10},x_2)(x_7,x_6)$ von der man durch Hinzufügung von $x_\infty$ und $\left(z,\frac{Az+B}{Cz+D}\right)$ in gleicher Weise eine dreifach transitive Function von 12 Grössen erlangen kann.\par Es giebt eine vierfach transitive Function von 11 Grössen mit 7! Werthen, characterisirt durch $(x_0 x_1\cdots x_{10})$ und $(x_4,x_5,x_3,x_9)(x_0,x_7,x_2,x_6)$, deren Gruppe diejenige der eben definirten Function umfasst. Fügt man $x_\infty$ und $\left(z,-\frac{1}{z}\right)$ dazu, so erhält man eine fünffach transitive Function von 12 Grössen. Es giebt eine vierfach transitive Function von 23 Grössen, welche unverändert bleibt, wenn man auf die 11 Grössen des ersten Cyclus von $$(1,2,4,8,16,9,18,13,3,6,12)\ (5,10,20,17,11,22,21,19,15,7,14)$$ die $6\cdot 10\cdot 11$ aus $(x_0' x_1'\cdots x_{10}')$ und $(x_4'x_3')\,(x_5'x_9')\,(x_{10}'x_2')\,(x_7'x_6')$ anwendet, welche eine zweifach transitive Function von 11 Grössen characterisiren, sofern man zugleich auf den zweiten Cyclus jener obigen Substitution die aus $(x_0''\cdots x_{10}'')$ und $(x_1'' x_9'')\,(x_4'' x_5'')\,(x_7'' x_8'')\,(x_6'' x_2'')$, welche auch eine zweifach transitive Function characterisiren, anwendet. Hiebei muss gesetzt werden $$\multline x_0'=x_1,x_1'=x_2,x_2'=x_4,x_3'=x_8,x_4'=x_{11},x_5'=x_9,x_6'=x_{18}',x_7'=x_{13},\\ x_5'=x_8,x_9'=x_6,x_{10}'=x_{12};\\ x_0''=x_5,x_1''=x_{10},x_2''=x_{20},x_3''=x_{17},x_4''=x_{11},x_5''=x_{22},x_6''=x_{21},\\ x_7''=x_{19},x_8''=x_{15},x_9''=x_7,x_{10}''=x_{14}.\endmultline$$ Aus dieser Function leite man durch Hinzunahme von $x_\infty$ eine fünffach transitive Function von 24 Grössen ab. Es werden nun die Formeln, durch welche die $x'$ und die $x''$ in die $x$ übergeführt werden, in allgemeinerer Weise betrachtet. Man erkennt dabei, dass die zweifach transitive Function aus 7 Grössen durch $(z,z+1)$ und ausserdem eine der Substitutionen $(z,-2z^5+3z^2)$, $(z,z^5),(z,-z^5+2z^2)(\mod 7)$, die zweifach transitive von 11 Grössen durch $(z,z+1)$ und eine der beiden $(z,5z^2-4z^4), (z,3z^2-2z^4)$, die vierfach transitive von 11 Grössen durch $(z,z+1)$ und eine der beiden $(z,3z^7+4z^2),(z,2z^7-z^2)$ und die vierfach transitive der 23 Grössen durch $(z,z+1)$ und $(z,-3z^{15}+4z^4)$ characterisirt wird.
(Data of JFM: JFM 05.0088.01; Copyright 2005 Jahrbuch Database used with permission)
[Netto, Dr. (Berlin)]

MSC 2000:: *26E25 Set-valued real functions
20B20 Multiply transitive finite permutation groups
11A41 Elementary prime number theory
13B10 Automorphisms, etc. (commutative rings)
15A04 Linear transformations (linear algebra)
20D45 Automorphisms of finite groups
13A50 Invariant theory
14C20 Divisors, linear systems, invertible sheaves
11F03 Modular and automorphic functions
11E04 Quadratic forms over general fields
14C25 Algebraic cycles

Keywords: Doubly; quintuply transitive function; quantities; principle; prime numbers; primitive root; substitution; invariant; divisor; module; relation; values; quadratic rest; group; cycle

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	Scientific prize winners of the ICM 2010
	Overhang
	Lie groups, physics and geometry. An introduction for physicists, engineers and chemists.

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