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Zbl 0412.65058
Gottlieb, David; Orszag, Steven A.
Numerical analysis of spectral methods: Theory and applications. (English)
[B] CBMS-NSF Regional Conference Series in Applied Mathematics. 26. Philadelphia, Pa.: SIAM, Society for Industrial and Applied Mathematics. v, 172 p. \$ 12.25 (1977).

In der Monographie werden Galerkin-, Tau- und Collocationsverfahren für Anfangsrandwertaufgaben untersucht. Die Ansatzfunktionen für die vielen eindimensionalen Testprobleme hyperbolischer und parabolischer Art sind Eigenfunktionen von Sturm-Liouville-Aufgaben. Die Konvergenzuntersuchungen für die entstehendem semidiskreten Probleme werden für eindimensionale, lineare und autonome Anfangsrandwertaufgaben durchgeführt. Hierbei wird ausführlich dargestellt, dass für den Spezialfall semi-beschränkter Operatoren der dem Äquivalenzsatz von Lax zugrundegelegte Stabilitätsbegriff herangezogen werden kann, im allgemeinen Fall aber die schwächere algebraische Stabilität als sachgemässer Stabilitätsbegriff für Spektralmethoden verwendet werden mu{ss}. Die schwächere Stabilität wird durch stärkere Konsistenzbedingungen kompensiert. Für die zeitliche Diskretisierung der semidiskreten Probleme werden explizite und implizite Einschrittverfahren vorgeschlagen. Die abschliessenden Kapitel behandelt die Implementierung der Spektralmethoden und den numerischen Vergleich mit anderen Verfahren, insbesondere Differenzenverfahren. Für das Verständnis der Monographie muss der Leser gute Grundkenntnisse bezüglich der numerischen Behandlung von Anfangswertaufgaben besitzen. Den Autoren ist es insbesondere gelungen, ihre grossen praktischen Erfahrungen weiterzugeben. Die numerischen Probleme bei der konkreten Problemlösung von Anfangsrandwertaufgaben, wie z. B. Gibbs-Phänomen, Phasenfehlern und Reflexion an Rändern werden ausführlich dargestellt. Die Monographie ist daher für solche Leser besonders empfehlenswert, die nicht primär an theoretischen Ergebnissen interessiert sind, sondern die Spektralmethode auf aktuelle Aufgaben anwenden wollen.

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[Horst Kreth]

MSC 2000:: *65N35 Collocation methods (BVP of PDE)
65N30 Finite numerical methods (BVP of PDE)
65-02 Research monographs (numerical analysis)
65M12 Stability and convergence of numerical methods (IVP of PDE)

Keywords: Galerkin method; Tau method; collocation; initial boundary value problems; partial differential equations; hyperbolic and parabolic type; Sturm-Liouville problems; spectral methods

Cited in: Zbl 0755.65140 Zbl 0674.76100 Zbl 0599.65079 Zbl 0508.65054 Zbl 0496.65061 Zbl 0487.65032

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