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Critère de parité du nombre de classes des extensions abéliennes réelles de \(\mathbb Q\) de degré impair. (French) Zbl 0312.12013

Résumée: Ce travail établit un critère de parité du nombre de classes au sens ordinaire des extensions abéliennes réelles \(K/\mathbb Q\) de degré impair. Ce critère est tout à fait effectif, et son utilisation pratique ne nécessite que la connaissance numérique: (i) du conducteur \(f\) de \(K\), (ii) du sous-groupe de \((\mathbb Z/f \mathbb Z)^*\) qui correspond canoniquement à \(K\). Sa démonstration utilise à la fois, et de façon essentielle, la théorie du corps de classes et la formule analytique du nombre de classes, cette dernière conduisant à l’étude des unités cyclotomiques (au sens de Leopoldt) du corps \(K\). L’utilisation d’une propriété de ces unités cyclotomiques permet de caractériser la parité du nombre de classes au moyen de leurs seules signatures. La définition même des unités cyclotomiques de Leopoldt montre clairement que la critère obtenu ne dépend que des caractéristiques arithmétiques élémentaires du corps \(K\), précisées au début de ce résumé.

MSC:

11R29 Class numbers, class groups, discriminants
11R37 Class field theory
11R18 Cyclotomic extensions
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Full Text: DOI Numdam EuDML

References:

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