Gras, Georges Critère de parité du nombre de classes des extensions abéliennes réelles de \(\mathbb Q\) de degré impair. (French) Zbl 0312.12013 Bull. Soc. Math. Fr. 103, 177-190 (1975). Résumée: Ce travail établit un critère de parité du nombre de classes au sens ordinaire des extensions abéliennes réelles \(K/\mathbb Q\) de degré impair. Ce critère est tout à fait effectif, et son utilisation pratique ne nécessite que la connaissance numérique: (i) du conducteur \(f\) de \(K\), (ii) du sous-groupe de \((\mathbb Z/f \mathbb Z)^*\) qui correspond canoniquement à \(K\). Sa démonstration utilise à la fois, et de façon essentielle, la théorie du corps de classes et la formule analytique du nombre de classes, cette dernière conduisant à l’étude des unités cyclotomiques (au sens de Leopoldt) du corps \(K\). L’utilisation d’une propriété de ces unités cyclotomiques permet de caractériser la parité du nombre de classes au moyen de leurs seules signatures. La définition même des unités cyclotomiques de Leopoldt montre clairement que la critère obtenu ne dépend que des caractéristiques arithmétiques élémentaires du corps \(K\), précisées au début de ce résumé. Page: −5 −4 −3 −2 −1 ±0 +1 +2 +3 +4 +5 Show Scanned Page Cited in 5 ReviewsCited in 10 Documents MSC: 11R29 Class numbers, class groups, discriminants 11R37 Class field theory 11R18 Cyclotomic extensions Keywords:parity of class numbers; real abelian extensions of odd degree; class field theory; analytic class number formula; cyclotomic units PDFBibTeX XMLCite \textit{G. Gras}, Bull. Soc. Math. Fr. 103, 177--190 (1975; Zbl 0312.12013) Full Text: DOI Numdam EuDML References: [1] GRAS (Georges) et GRAS (Marie-Nicole) . - Signature des unités cyclotomiques et parité du nombre de classes des extensions cycliques de Q de degré premier impair , Ann. Inst. Fourier, Grenoble, t. 25, 1975 , fasc. 1. Numdam | MR 52 #13728 | Zbl 0297.12009 · Zbl 0297.12009 · doi:10.5802/aif.542 [2] LEOPOLDT (H. W.) . - Über Einheitengruppe und Klassenzahl reeller abelscher Zahlkörper , Abh. Deutsche Akad. Wiss. Berlin, Kl. Math., 1953 , n^\circ 2, 48 p. Zbl 0059.03501 · Zbl 0059.03501 [3] LEOPOLDT (H. W.) . - Über die Hauptordnung der ganzen Elemente eines abelschen Zahlkörpers , J. reine angew. Math., t. 201, 1959 , p. 119-149. Article | MR 21 #7195 | Zbl 0098.03403 · Zbl 0098.03403 · doi:10.1515/crll.1959.201.119 [4] MARTINET (J.) . - Sur l’arithmétique des extensions galoisiennes à groupe de Galois diédral d’ordre 2 p , Ann. Inst. Fourier, Grenoble, t. 19, 1969 , fasc. 1, p. 1-80. Numdam | MR 41 #6820 | Zbl 0165.06502 · Zbl 0165.06502 · doi:10.5802/aif.307 [5] SERRE (J.-P.) . - Représentations linéaires des groupes finis . - Paris, Hermann, 1967 (Collection Méthodes). MR 38 #1190 | Zbl 0189.02603 · Zbl 0189.02603 [6] SERRE (J.-P.) . - Corps locaux . - Paris, Hermann, 1962 (Act. scient. et ind., 1296). MR 27 #133 | Zbl 0137.02601 · Zbl 0137.02601 This reference list is based on information provided by the publisher or from digital mathematics libraries. Its items are heuristically matched to zbMATH identifiers and may contain data conversion errors. In some cases that data have been complemented/enhanced by data from zbMATH Open. This attempts to reflect the references listed in the original paper as accurately as possible without claiming completeness or a perfect matching.