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Zbl 0279.10005
Benkoski, S.J.; Erd\H{o}s, Paul
On weird and pseudoperfect numbers. (English)
[J] Math. Comput. 28, 617-623 (1974). ISSN 0025-5718; ISSN 1088-6842/e

Die Autoren nennen eine natürliche Zahl $n$ (1) pseudo-vollkommen, wenn sie Summe verschiedener echter Teiler von $n$ ist, (2) defizient, wenn sie grösser ist als die Summe aller ihrer echten Teiler und (3) sonderbar (weird), wenn sie weder pseuo-vollkommen noch defizient ist. Eine Liste der (erstaunlich seltenen) sonderbaren Zahlen $\le 10^6$ wird gegeben. U.a. wird bewiesen, dass die sonderbaren Zahlen positive Dichte haben und dass es zu jedem $x > 0$ pseudo-vollkommene Zahlen gibt, deren Primfaktoren sämtlich $ > x$ sind. Offen bleibt u.a. die Frage, ob für sonderbare Zahlen $n$ der Quotient $\sigma(n)/n)$ beschränkt bleibt. Er bleibt beschränkt für die Zahlen $n$ mit folgender weitergehenden Eigenschaft: Kein Teiler von $n$ ist Summe verschiedener anderer Teiler von $n$. Allgemeiner besagt nämlich ein älterer Satz von {\it P. Erd\H{o}s} [Mat. Lapok 13, 28-37 (1962; Zbl 0123.25503)]: Ist $a_1< \ldots <a_k$ eine Folge natürlicher Zahlen, so dass kein Term die Summe verschiedener anderer Terme ist, so gilt $\sum_i 1/a_i<C$ mit einer universellen Konstanten $C$. Der interessante Beweis wird hier aus dem Ungarischen übersetzt. [Auf S. 622, Z. 20 sollte $\sigma(t)$ durch $\sigma(t)-t$ ersetzt werden.]

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[W.Borho]

MSC 2000:: *11A25 Arithmetic functions, etc.
11B39 Special numbers, etc.
11-04 Machine computation, programs (number theory)
11P99 Additive number theory

Citations: Zbl 0123.25503

Cited in: Zbl 0522.10007

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	Scientific prize winners of the ICM 2010
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	Lie groups, physics and geometry. An introduction for physicists, engineers and chemists.

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