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Analytic number theory. (English) Zbl 0226.12001

Englewood Cliffs. N. J.: Prentice-Hall, Inc. xv, 282 p. £6.50 (1971).
Das vorliegende Buch ist vor allem ein Lehrbuch der Klassenkörpertheorie. Von den bekannten Büchern über dieses Gebiet unterscheidet es sich dadurch, daß es weder explizit homologische Begriffsbildungen verwendet, noch die Sprache der Algebren, wie z.B. [A. Weil, Basic number theory. Berlin etc.: Springer Verlag (1967; Zbl 0176.33601)] benutzt, vielmehr ist der Aufbau im wesentlichen derjenige der These von Chevalley aus dem Jahre 1940, wobei die funktionentheoretischen Methoden z.T. im Sinne der These von Tate durch Methoden der harmonischen Analyse ersetzt sind. Der Begriff der Heckeschen \(L\)-Reihe steht im Vordergrund der Betrachtung, und an dem Aufbau der Klassenkörpertheorie schließt sich der Beweis des Primzahlsatzes für arithmetische Progressionen mit klassischen, analytischen Beweismethoden an. Das Buch setzt keine Kenntnisse aus der algebraischen Zahlentheorie voraus, sondern lediglich etwas Algebra, die Haarsche Integration auf lokal kompakten Gruppen sowie Grundwissen aus der komplexen Funktionentheorie.
Das Buch ist ausgezeichnet geeignet, sich mit den Hauptsätzen der Theorie bekannt zu machen, stellt aber keineswegs den Anspruch, solche Standardbücher wie Hasses „Klassenkörperbericht“ oder Artin-Tates „Class field theory“ zu ersetzen, da es weniger Kompendium als vielmehr Vorlesungscharakter hat.
Im einzelnen enthält der erste Teil die algebraische Zahlentheorie: die Theorie der Dedekindschen Ringe, lokale Körper und globale Arithmetik mit den quadratischen Zahlkörpern als Beispiel. Im zweiten Teil werden die notwendigen Hilfsmittel aus der harmonischen Analyse von lokal kompakten abelschen Gruppen zusammengestellt. Diese werden dann im Teil 3 auf die Behandlung der Heckeschen \(L\)-Funktionen angewandt. Der Chebotarevsche Dichtigkeitssatz wird nach einem kürzlich erfolgten Beweis von C. R. MacCluer [Acta Arith. 15 (1968), 45–47 (1969; Zbl 0185.11201)] dargestellt.
Der vierte Teil enthält dann die eigentliche Klassenkörpertheorie, wobei der Verf. nur den Zahlkörperfall behandelt. Er stellt den Beweis des Reziprozitätsgesetzes der Entwicklung der lokalen Klassenkörpertheorie voran. Als Anwendung beweist er den Satz von Kronecker-Weber über die absolut abelschen Körper sowie das Reziprozitätsgesetz für das Potenzrestsymbol.
Der fünfte Teil bringt den verallgemeinerten Primzahlsatz für Heckesche Charaktere in der schwachen Form:
\[ \Pi(x,\chi) = \sum_{N\mathfrak p \le x} \chi(\mathfrak p) = \begin{cases} \frac{x}{\log x} + O\left(\frac{x}{\log x}\right)\quad &(\chi=\chi_0) \\ O\left(\frac{x}{\log x}\right)\quad &(\chi\ne \chi_0). \end{cases} \]

MSC:

11-01 Introductory exposition (textbooks, tutorial papers, etc.) pertaining to number theory
11R37 Class field theory
11R42 Zeta functions and \(L\)-functions of number fields
11N13 Primes in congruence classes