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On the algebraic independence of the values of E-functions. (Über die algebraische Unabhängigkeit der Werte von E-Funktionen.) (Russian) Zbl 0213.06103

Math. USSR, Sb. 7, 293-298 (1970); translation from Mat. Sb., N. Ser. 78(120), 301-306 (1969).
Es werden die E-Funktionen \(y(z)\) betrachtet, die der Differentialgleichung \[ y'''+\frac{3(\lambda+\mu+1)}{z}\, y''+\frac{3(\lambda+1)(3\mu+1)}{z^2}\,y'-y=0 \] genügen. Es wird bewiesen, dass \(y(z), y'(z), y''(z)\) nur dann algebraisch unabhängig über dem Körper der rationalen Zahlen sind, wenn sie die folgenden Bedingungen erfüllen: \(\lambda=\pm\tfrac13+n_1\), \(\mu=\pm\tfrac13+n_2\), wo \(n_1,n_2\) ganz rational sind. Dann wird für eine algebraische Zahl \(\alpha\neq 0\) bewiesen, dass \(f(\alpha), f'(\alpha), f''(\alpha)\) nur in dem Fall algebraisch unabhängig sind, wenn wenigstens eine der oben angegebenen Bedingungen für \(\lambda\) und \(\mu\) verletzt ist.
Reviewer: A. I. Vinogradov

MSC:

11J91 Transcendence theory of other special functions
11J85 Algebraic independence; Gel’fond’s method
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