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Zbl 0193.34701
Lang, Serge
Algebra. (English)
[B] Reading, Mass.: Addison-Wesley Publishing Company, Inc., XVIII, 508 p. (1965).

Das Buch besteht aus den drei Teilen: ``Gruppen, Ringe und Moduln'', ``Körpertheorie'' und ``Lineare Algebra und Darstellungstheorie'', welche ihrerseits in Kapitel unterteilt sind. Schon im ersten Teil wird die Tendenz des Autors deutlich, nicht eine systematische Einführung von Begriffen samt Aufzählung mehr oder weniger einfacher Eigenschaften anzustreben, sondern möglichst bald relevante Aussagen herzuleiten. Die Kapitelüberschriften von Teil I lauten: ``Gruppen'', ``Ringe'', ``Moduln'', ``Homologie'', ``Polynome'' und ``Noethersche Ringe und Mo\-duln''. Nach kuzer Behandlung des Gruppenbegriffs, welche Sätze über Sylow-Gruppen einschlie\ss t, werden im ersten Kapitel Kategorien, Funktoren und kategorientheoretische Konstruktionen eingeführt. Es folgen Anwendungen dieser Begriffe bei verschiedenen universellen Konstruktionen. Im Kapitel über Ringe findet man den Chinesischen Restsatz und das Lokalisie\-rungs\-prinzip. Das vierte Kapitel behandelt auf wenigen Seiten die Homologiesequenz von Mo\-dul\-komplexen, die Eulersche Charakteristik eines Komplexes und den Satz von Jordan-Hölder. Das letzte Kapitel schlie\ss t mit der Herleitung der Primärzerlegung für Noethersche Moduln. Teil II umfa\ss t die Kapitel ``Algebraische Erweiterungen'', ``Galois-Theorie'', ``Ringerweiterungen'', ``Transzendente Erweiterungen'', ``Reelle Körper'', ``Bewertungen''. Grundbegriffe der Körpertheorie enthält das erste Kapitel. Das nächste Kapitel lehnt sich im Aufbau an Artins bekannte ``Galoissche Theorie'' [{\it E. Artin}, Galoissche Theorie (Leipzig 1959, dies. Zbl 0086.25703; 2. Auflage 1965; Zbl 0133.26402)] an. Es folgen Betrachtungen über ganz-abgeschlossene Ringe; in galoisschen Erweiterungen derselben werden die auf Hilbert zurückgehenden Begriffe Zerlegungsgruppe und Trägheitsgruppe entwickelt. Im Kapitel über transzendente Erweiterungen findet sich neben Hilberts Nullstellensatz und Bemerkungen über algebraische Mannigfaltigkeiten ein Abschnitt über Derivationen mit Anwendungen auf separabel erzeugte Körpererweiterungen. Die Artin-Schreier Theorie reeller Körper wird im nächsten Kapitel behandelt. Grundbegriffe der Bewertungstheorie sind im letzten Kapitel zusammengestellt. Mit einem Kapitel über Matrizen und lineare Abbildungen beginnt Teil III. Der Struktur von Bilinearformen ist das folgende Kapitel gewidmet. In diesem Zusammenhang wird der Satz von Witt bewiesen, die Wittsche Gruppe und die Witt-Grothendieck-Gruppe eingeführt, Der Sylvestersche Trägheitssatz behandelt und die zu einer symmetrischen Bilinearform gehörige Clifford-Algebra konstruiert. Abschlie\ss end wird der Spektralsatz für den Hermiteschen und den symmetrischen Fall bewiesen. Strukturuntersuchungen von Moduln über Hauptidealbe\-reichen führen zur Herleitung der Jordanschen Normalform einer Matrix. Ein weiteres Kapitel behandelt Tensorprodukte, alternierende und symmetrische Produkte und den Grothendieck-Ring einer Gruppe. Die Strukturtheorie halbeinfacher Ringe wird aus dem Dichtesatz von Jacobson entwickelt. Ein Kapitel über Darstellungstheorie endlicher Gruppen beschlie\ss t diesen dritten Teil, dessen Leitthema die Struktur von Moduln und Ringen ist. Ein Anhang enthält Transzendenzbeweise für $e$ und $\pi$. An jedes Kapitel schlie\ss t eine Reihe von meist schwierigen Übungsaufgaben, die den im Textteil dargestellten Stoff ergänzen. Einem Leser ohne algebraische Vorkenntnisse und Routine wird das Buch vermutlich Schwierig\-keiten bereiten. Daher sollte man es dem Hörer eines Kurses über Algebra höchstens als begleitende Lektüre in die Hand geben; im Anschlu\ss{} an eine Vorlesung sollte man es aber jedem besonders empfehlen. Nicht wie bei Bourbaki ist eine möglichst systematische Darstellung das Ziel des Autors. Er wählt vielmehr aus und setzt Schwerpunkte. Dies gelingt so vortrefflich, da\ss{} man in lebendiger Darstellungsweise auf knappem Raum eine imponierende Fülle an Material zusammengetragen findet. Der Leser wird in die verschiedensten Bereiche der Algebra eingeführt. Da die einzelnen Kapitel weitgehend unabhängig voneinander lesbar sind, eignet es sich vorzüglich zur Orientierung. Seit B. L. van der Waerdens ``Algebra'' dürfte hier neben Bourbakis Werk das umfassendste Lehrbuch der Algebra in zeitgemä\ss er Sprache vorliegen, das sich in den Jahren nach seinem Erscheinen herforragend bewährt und einen festen Platz in der Literatur erworben hat.

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[K. Plewe]

MSC 2000:: *00A05 General mathematics
12-01 Textbooks (field theory)
13-01 Textbooks (commutative rings and algebras)
15-01 Textbooks (linear algebra)
16-01 Textbooks (assoc. rings and algebras)
18-01 Textbooks (category theory)
20-01 Textbooks (group theory)

Keywords: commutative algebra

Citations: Zbl 0086.25703; Zbl 0133.26402

Cited in: Zbl 1128.11012 Zbl 0984.00001 Zbl 1018.00001 Zbl 0848.13001 Zbl 0712.00001 Zbl 0529.00001 Zbl 0218.00006

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