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Cohomology theories. (English) Zbl 0182.57002

Mathematics Lecture Note Series. New York-Amsterdam: W. A. Benjamin, Inc. xiii, 183 p. (1969).
Diese Noten aus dem Jahre 1963 enthalten aligemeine Untersuchungen über verallgemeinerte Kohomologietheorien und behandeln als Spezialfall die komplexe \(K\)-Theorie.
Im ersten Kapitel “Structure of Cohomology Theories” werden (verallgemeinerte) Kohomologietheorien auf der Kategorie der endlichen CW-Paare und stetigen Abbildungen untersucht. Das sind solche Kohomologietheorien, die alle Axiome von Eilenberg und Steenrod außer dem Dimensionsaxiom erfüllen. Es wird gezeigt, wie man solche Theorien mit Hilfe von Spektren konstruiert. Wenn \(h^*\) eine Kohomologietheorie ist, ist eine \(h^*\)-Faserung eine stetige Abbildung \(\pi\colon E\to B\) zwischen endlichen simplizialen Komplexen mit der folgenden Eigenschaft: Für jedes Simplex \(\Delta\) in \(B\) und jede Ecke \(v\in\Delta\) ist die durch die Inklusion induzierte Abbildung \[ h^*(\pi^{-1}(\Delta)) \rightarrow h^*(\pi^{-1}(v)) \] ein Isomorphismus. Zu jeder \(h^*\)-Faserung existiert eine Spektralsequenz mit \(E_2\)-Termen \(E_2^{p,q}\cong H^p(B;h^q(F))\), wo rechts die singuläre Kohomologietheorie mit lokalen Koeffizienten \(h^q(F)\) steht. \(E_\infty^*\) ist die zu einer Filtrierung von \(h^*(E)\) assoziierte graduierte Gruppe. Als eine Anwendung wird z. B. gezeigt, daß jede natürliche Transformation zwischen Kohomologietheorien, die auf Punkten ein Isomorphismus ist, ein Isomorphismus ist für alle endlichen CW-Paare. Nach einer axiomatischen Charakterisierung von multiplikativen Kohomologietheorien wird die Kohomologie von \(h^*\)-Faserungen untersucht, insbesondere die \(h^*\)-Orientierung von Vektorraumbiindeln. Für stetige \(h^*\)-orientierte Abbildungen \(f\colon X\to Y\) zwischen differenzierbaren Mannigfaltigkeiten wird ein Umkehrhomomorphismus \[ f_j^h\colon h^*(X)\to h^*(Y)\] definiert für jedes multiplikative \(h^*\). Mit Hilfe dieses Umkehrhomomorphismus wird für jede multiplikative natürliche Transformation \(t\colon h^{**}\to k^{**}\) zwischen zwei Kohomologietheorien \(h^*\) und \(k^*\) und jede \(h^*\)-orientierte Abbildung zwischen zwei geschlossenen differenzierbaren Mannigfaltigkeiten eine verallgemeinerte Riemann-Roch-Formel angegeben. Als Spezialfall werden die Wuschen Formeln und in Kapitel III der differenzierbare Riemann-Rochsche Satz von Atiyah-Hirzebruch [F. Hirzebruch, Sém. Bourbaki 11 (1958/59), Exp. No. 177, 21 p. (1959; Zbl 0129.15406)] hergeleitet.
Kapitel II “Complex Vector Bundles and the Bott Periodicity Theorem” enthält im wesentlichen Vorbereitungen zur Definition der komplexen \(K\)-Theorie. Es wird ein topologischer Beweis des Bottschen Periodizitätssatzes angegeben sowie Chernsche Klassen und Chernscher Charakter für komplexe Vektorraumbündel definiert. Dazu wird die gewöhnliche Kohomologie der unitären Gruppen \(U(n)\) und der klassifizierenden Räume \(BU(n)\) und \(BU\) eingehend studiert.
Kapitel III “The Cohomology Theory \(K_c^*\)” behandelt die komplexe \(K\)-Theorie und die durch den Chernschen Charakter induzierte natürliche Transformation \(ch\) in die singuläre Kohomologie mit rationalen Koeffizienten sowie Spezialisierungen von Kapitel I auf \(K_c^*\) und \(ch\).
Kapitel IV “Some Geometric Applications” bringt Anwendungen der \(K\)-Theorie auf den stabilen \(J\)-Homomorphismus, Abbildungen mit mod \(p\) Hopf-Invariante 1 und Toda-Klammern.
In drei Anhängen werden u.a. die Definitionen der reellen \(K\)-Theorie und der Gruppen \(J(X)\) skizziert. Am Schluß steht ein kurzer historischer Überblick über die Entwicklung dieser Theorien bis 1963.
Reviewer: K. H. Mayer

MSC:

55-02 Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to algebraic topology
55-03 History of algebraic topology
55Nxx Homology and cohomology theories in algebraic topology
19D55 \(K\)-theory and homology; cyclic homology and cohomology
19Lxx Topological \(K\)-theory

Citations:

Zbl 0129.15406