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Lattice points in multidimensional spheres. (Gitterpunkte in mehrdimensionalen Kugeln.) (German) Zbl 0146.06101

Monografie Matematyczne. Vol. 33. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe. 471 p. (1957).
Gitterpunktprobleme haben auf viele hervorragende Zahlentheoretiker eine besondere Anziehung ausgeübt. Das vorliegende Werk befaßt sich ausschließlich mit der Anzahl \(A_q(t)\) der Gitterpunkte in der Kugel \(y_1^2+\ldots+ y_q^2 \leq t\); das Volumen dieser Kugel sei \(V_q(t)\). Alle Behauptungen über \(P_q(t) := A_q(t)-V_q(t)\) sind in dem Buch als Sätze und alle sonstigen Behauptungen als Hilfssätze gekennzeichnet. Das Buch ist sehr klar geschrieben. Auch Nebenrechnungen sind im einzelnen durchgeführt. Übernommene Ergebnisse sind stets mit genauer Quellenangabe versehen. Die Vorgeschichte des Fragenkreises registriert \(P_2(x)=O(x^c)\) mit \(c=1/2\) nach Gauß, \(c=1/3\) nach Sierpiński und \(c<1/3\) nach van der Corput. Wir geben eine Inhaltsübersicht des Buches, das an Vorkenntnissen nur die üblichen Anfangsvorlesungen in Analysis und Zahlentheorie voraussetzt.
Kapitel 1 befaßt sich mit der Vorzeichenbestimmung Gaußscher Summen (nach Estermann), Thetareihen, Jacobis Formeln für die Anzahl der Darstellungen einer natürlichen Zahl durch 2 und 4 Quadrate, einer Entwicklung von \(A_q(x)\) nach Landau und einer Entwicklung von \(r_k(n)\), welches die Anzahl der Darstellungen von \(n\) als Summe von \(k\) Quadraten bezeichnet, nach Hardy für \(k>4\).
Kapitel 2 bringt die verschiedenen Abschätzungen trigonometrischer Summen nach Weyl, van der Corput, Vinogradov und Hua mit der Anwendung \(P_4(x)=O\left(x\log x)^{3/4} (\log\log x)^{1/2}\right)\); neuerdings weiß man \(P_4(x)= O(x(\log x)^{2/3})\) [vgl. etwa Arnold Walfisz, Weylsche Exponentialsummen in der neueren Zahlentheorie (1963; Zbl 0146.06003), s. vorangehendes Referat]. Aus der erwähnten Landauschen Entwicklung wird \(P_k(x)=O(x^{k/2-1})\) gefolgert.
Kapitel 3 enthält Beweise für \(P_k(x)=\Omega(x^{k/2-1})\) \((k\geq 4)\) nach Jarník und \(P_4(x)=\Omega(x\log\log x)\) nach Walfisz; dabei ist die \(\Omega\)-Relation die Verneinung der \(o\)-Relation. Es wird noch Jarníks Satz bewiesen, daß für \(k>4\) die Folge \(\rho_k(1)\), \(\rho_k(2)\), \(\rho_k(3), \ldots\) unendlich viele Häufungspunkte hat; dabei ist \(\rho_k(x):= P_k(x) x^{1-k/2}\).
Kapitel 4 bringt Sätze von Petersson wie etwa
\[ \limsup_{x\to\infty} P_k(x)x^{1-k/2}\geq \frac{\pi^{k/2}}{2\Gamma(\tfrac k2)}(1+2^{1-k/2})\quad\text{für}\;k > 6. \]
Kapitel 5 enthält Formeln für \(P_k(x)\) nach Lursmanashvili, die sich für eine Wiedergabe hier nicht eignen.
In Kapitel 6 und 7 folgen Anwendungen der beiden vorhergehenden Kapitel und zwar getrennt für gerades und ungerades \(k\); für gewisse Hilfsfunktionen werden dabei umfangreiche Tabellen berechnet.
In Kapitel 8 wird (auf etwa 60 Seiten!) der Beweis für \[ \int_0^x P_4^2(y)\,dy = \tfrac 23 \pi^2 x^3 + O(x^{5/2}) \]
nach Walfisz geführt.
Im Kapitel 9 werden \(O\) und \(\Omega\)-Aussagen über \(\int_0^x P_k^2(y)\,dy\) nach Jarník für \(k>3\) bewiesen.
Das abschließende Kapitel 10 bringt die Entwicklung von \(P_k(x)\) in eine Reihe nach Besselfunktionen; neben der Konvergenz wird noch eine sogenannte \(\sigma\)-Summierbarkeit studiert.
Die Quellenangaben am Ende des Werkes sind erfreulich umfangreich; es folgt noch ein 5-seitiger Bericht über Verallgemeinerungen auf Ellipsoide.
Reviewer: G. J. Rieger

MSC:

11P21 Lattice points in specified regions
11-02 Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to number theory
11L15 Weyl sums
11Lxx Exponential sums and character sums

Citations:

Zbl 0146.06003
Full Text: EuDML