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A proof of the fundamental theorem on the density of sums of sets of positive integers. (English) Zbl 0061.07406

Diese Arbeit gibt den Beweis für den lange vermuteten Satz (sogenannte \((\alpha, \beta)\)-Vermutung), daß die Dichte der Summe zweier Mengen nichtnegativer ganzer Zahlen mindestens so groß ist wie die Summe der Dichte der Summanden. Sind \(\mathfrak A\), \(\mathfrak B\), \(\mathfrak C = \mathfrak A + \mathfrak B\) die Mengen und \(\alpha, \beta, \gamma\) ihre Dichten, so wird statt \(\gamma \ge \alpha + \beta\) (falls \(\alpha + \beta \le 1)\) sogar die (von A. Brauer angeregte) Verschärfung \(\gamma \ge \sigma(\alpha, \beta)\) bewiesen mit \[ \sigma(\alpha, \beta) = \underset{x=1,2,\ldots}{\underline{\text{fine}}} \frac{A(x)+B(x)}{x} \ge \underset{x=1,2,\ldots}{\underline{\text{fine}}} \frac{A(x)}{x} + \underset{x=1,2,\ldots}{\underline{\text{fine}}} \frac{B(x)}{x} = \alpha + \beta. \]
Ein weiterer Satz des Verf. findet sich implizit bereits bei A. S. Besicovitch [J. Lond. Math. Soc. 10, 246–248 (1935; Zbl 0012.39406)]; vgl. auch H. B. Mann [Pac. J. Math. 1, 249–253 (1951; Zbl 0045.01904)].

MSC:

11B05 Density, gaps, topology
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