Mann, Henry B. A proof of the fundamental theorem on the density of sums of sets of positive integers. (English) Zbl 0061.07406 Ann. Math. (2) 43, 523-527 (1942). Diese Arbeit gibt den Beweis für den lange vermuteten Satz (sogenannte \((\alpha, \beta)\)-Vermutung), daß die Dichte der Summe zweier Mengen nichtnegativer ganzer Zahlen mindestens so groß ist wie die Summe der Dichte der Summanden. Sind \(\mathfrak A\), \(\mathfrak B\), \(\mathfrak C = \mathfrak A + \mathfrak B\) die Mengen und \(\alpha, \beta, \gamma\) ihre Dichten, so wird statt \(\gamma \ge \alpha + \beta\) (falls \(\alpha + \beta \le 1)\) sogar die (von A. Brauer angeregte) Verschärfung \(\gamma \ge \sigma(\alpha, \beta)\) bewiesen mit \[ \sigma(\alpha, \beta) = \underset{x=1,2,\ldots}{\underline{\text{fine}}} \frac{A(x)+B(x)}{x} \ge \underset{x=1,2,\ldots}{\underline{\text{fine}}} \frac{A(x)}{x} + \underset{x=1,2,\ldots}{\underline{\text{fine}}} \frac{B(x)}{x} = \alpha + \beta. \] Ein weiterer Satz des Verf. findet sich implizit bereits bei A. S. Besicovitch [J. Lond. Math. Soc. 10, 246–248 (1935; Zbl 0012.39406)]; vgl. auch H. B. Mann [Pac. J. Math. 1, 249–253 (1951; Zbl 0045.01904)]. Reviewer: Hans Rohrbach (Mainz) Page: −5 −4 −3 −2 −1 ±0 +1 +2 +3 +4 +5 Show Scanned Page Cited in 8 ReviewsCited in 15 Documents MSC: 11B05 Density, gaps, topology Keywords:density of sums of sets of positive integers Citations:Zbl 0012.39406; Zbl 0045.01904 PDFBibTeX XMLCite \textit{H. B. Mann}, Ann. Math. (2) 43, 523--527 (1942; Zbl 0061.07406) Full Text: DOI