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Zbl 0055.09705
Grothendieck, Alexander
Summary and essential results in the theory of topological tensor products and nuclear spaces. (Résumé des résultats essentiels dans la théorie des produits tensoriels topologiques et des espaces nucléaires.) (French)
[J] Ann. Inst. Fourier 4, 73-112 (1952). ISSN 0373-0956; ISSN 1777-5310/e

Die vorliegende Arbeit enthält eine Zusammenstellung der Hauptresultate der in den Memoirs of the Amer. Math. Soc. erscheinenden Thèse des Verf. ohne Beweise. Kapitel I enthält die Theorie der topologischen Tensorprodukte lokalkonvexer Räume. Sind $E$, $F$ zwei lokalkonvexe Räume, so erhält man auf dem gewöhnlichen Tensorprodukt $E\otimes F$ eine lokalkonvexe Topologie, wenn man als Nullumgebungssystem die Mengen $\Gamma(U\otimes V)$ nimmt, die absolutkonvexen Hüllen der Tensorprodukte zweier Nullumgebungen $U$ und $V$ aus $E$ bzw. $F$. Als projektives Tensorprodukt $E\widehat\otimes F$ wird die vollständige Hülle von $E\widehat\otimes F$ bezeichnet. Im Fall zweier $(F)$-Räume hat jedes Element von $E\widehat\otimes F$ die Form $\sum_{i=1}^\infty \lambda_ix_i\otimes y_i$, wobei $x_i$ bzw. $y_i$ beschränkte Folgen aus $E$ bzw. $F$ sind und $\sum|\lambda_i|<\infty$. Es wird ${\germ L}^1(\mu)\widehat\otimes E$ für einen $(B)$-Raum $E$ gleich dem Raum ${\germ L}_E^1(\mu)$ der $\mu$-integrablen Abbildungen eines lokalkompakten Raumes $M$ in den $(B)$-Raum $E$. Sind $E, F$ zwei $(B)$-Räume, so ist $E\otimes F$ linearer Teilraum des $(B)$-Raumes $B(E',F')$ der auf $E'\times F'$ stetigen Bilinearformen. Die abgeschlossene Hülle von $E\otimes F$ in $B(E',F')$ in der induzierten Norm wird als $E\widehat{\widehat\otimes}F$ bezeichnet. $E\widehat{\widehat\otimes}F$ lä\ss t sich auch für beliebige lokalkonvexe $E,F$ erklären. Die Frage, ob die stetige lineare Abbildung $E\widehat\otimes F\to E\widehat{\widehat\otimes}F$ eineindeutig ist, ist ungeklärt. Sind $E,F$ $(B)$-Räume, so können die Elemente von $E'\widehat\otimes F$ als stetige lineare Abbildungen von $E$ in $F$ aufgefa\ss t werden. Eine solche Abbildung hei\ss t nuklear. Für beliebige lokalkonvexe $E,F$ wird eine Abbildung von $E$ in $F$ als nuklear bezeichnet, wenn sie als Produkt $\gamma$ $\beta$ $\alpha$ geschrieben werden kann, $\alpha$ stetige Abbildung von $E$ in einen $(B)$-Raum $E_1$, $\beta$ nukleare Abbildung von $E_1$ in einen $(B)$-Raum $E_2$, $\gamma$ stetige Abbildung von $E_2$ in $F$. Eine nukleare Abbildung ist stets kompakt. Eine die nuklearen Abbildungen umfassende Klasse bilden die integralen Abbildungen von $E$ in $F$, das sind solche, die sich als stetige Linearfunktionen auf $E\widehat{\widehat\otimes} F'$ auffassen lassen. Sie gestatten Darstellungen als Integraloperationen. Das Produkt zweier integralen Abbildungen ist eine nukleare Abbildung. Eine dritte Sorte Abbildungen, die studiert wird, sind die Fredholmschen Abbildungen, die ebenfalls die nuklearen umfassen und in vielen Fällen mit ihnen zusammenfallen. Für das bekannte Problem, ob jede kompakte Abbildung Limes von Abbildungen endlichen Ranges ist, werden zahlreiche äquivalente Formulierungen gegeben, es wird in vielen Fällen auch gelöst. Im Kapitel II werden die nuklearen Räume studiert, das sind lokalkonvexe Räume $E$, für die $E\widehat\otimes F= E\widehat{\widehat\otimes} F$ für jedes lokalkonvexe $F$ gilt. Jede lineare stetige Abbildung eines nuklearen Raumes $E$ in einen $(B)$-Raum ist nuklear. Ist $E$ nuklear und quasivollständig, so ist $E$ ein $(M)$-Raum, speziell also reflexiv. Jeder Teilraum und jeder Quotientenraum ist wieder nuklear, ebenso das topologische Produkt beliebig vieler und die topologische Summe abzählbar vieler nuklearer Räume. Die bekannten Räume ${\germ E}$, ${\germ E}'$, ${\germ D}$, ${\germ D}'$, $S$, $S'$, $O_M$, $O_0'$ der Schwartzschen Distributionentheorie sind nuklear, ebenso der Raum $H$ der analytischen Funktionen auf einer komplexen Mannigfaltigkeit. Die Eigenschaften von $E\widehat{\otimes} F$ im Fall eines nuklearen $E$ und eines $(F)$-Raumes $F$ werden untersucht. Stetige Abbildungen von $E$ in $F$ der Form $\sum \lambda_i x_i'\otimes y_i$ mit $(\lambda_i)\in l^p$, $0<p\le 1$, $x_i$ bzw. $y_i$ je aus einer kompakten Teilmenge von $E'$ bzw. $F$ hei\ss en von $p$-ter Potenz summierbare Fredholmsche Abbildungen. Eine Fredholmsche Abbildung hat eine Fredholmsche Determinante, die eine ganze Funktion ist. Sätze über Zusammenhänge zwischen der Ordnung der Fredholmschen Determinante und der Potenz, in der die zugehörige Fredholmsche Abbildung summierbar ist.

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[Gottfried Köthe]

MSC 2000:: *46M05 Tensor products of topological linear spaces
46Axx Topological linear spaces and related structures

Keywords: functional analysis

Cited in: Zbl 1191.47041 Zbl 1131.46002 Zbl 1075.46502 Zbl 1067.46025 Zbl 0551.46050 Zbl 0123.30301 Zbl 0064.35501

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	Lie groups, physics and geometry. An introduction for physicists, engineers and chemists.

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