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On the subalgebras of finite division algebras. (English) Zbl 0048.02504

Das Problem, alle nicht-assoziativen Divisionsringe mit endlich vielen Elementen aufzustellen, ist noch nicht gelöst. In dieser Arbeit untersucht Verf. zunächst endliche, kommutative, nicht-assoziative Divisionsalgebren mit Einselement über einem Galoisfeld \(F = \mathrm{GF}(p^k)\), \(p > 2\). Er beweist, daß jede solche Algebra von gerader Ordnung eine einzige Teilalgebra der Ordnung 2 enthält und daß sie im Falle der Ordnung 4 eine Basis \(1, f, f^2, f^3\) mit \((f^2)^2 = \alpha + \beta f^2\), \(\alpha, \beta\in F\), besitzt.
Durch eine von Dickson herrührende Methode zeigt er ferner die Existenz der oben genannten Algebren gerader Ordnung. Dann studiert er einige Eigenschaften einer nicht-assoziativen Divisionsalgebra der Ordnung \(n\) über \(F\), deren Automorphismengruppe eine zyklische Gruppe der Ordnung \(n\) enthält.
Reviewer: Keizo Asano

MSC:

17A35 Nonassociative division algebras
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