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Analytic theory of continued fractions. (English) Zbl 0035.03601

New York: D. van Nostrand Company, Inc. xiii, 433 pp. (1948).
Verf. gibt in seinem Buch eine eingehende Darstellung der Theorie der analytischen Kettenbrüche. Er bringt vor allem die neueren Ergebnisse, die seit dem Erscheinen der 2. Auflage des Lehrbuches von Perron „Die Lehre von den Kettenbrüchen“ im Jahre 1929 erzielt wurden [Leipzig: B. G. Teubner (1929; JFM 55.0262.09)]. Aus dem Buch geht hervor, daß Verf. und seine Mitarbeiter in den verflossenen 20 Jahren von 1930–1950 wohl die meisten Beiträge zur Weiterentwicklung der Theorie geliefert haben.
Das Buch ist in zwei Abschnitte, die als Konvergenztheorie und als Funktionentheorie bezeichnet sind, unterteilt. Der erste Teil, die Konvergenztheorie, enthält auch gleichzeitig die meisten der vom Verf. selbst stammenden Ergebnisse:
1. Die parabolischen Sätze über die Konvergenz von Kettenbrüchen. Hier wird gezeigt, daß ein Kettenbruch, dessen Teilnenner gleich 1 sind, auch noch konvergieren kann, wenn seine Teilzähler in der komplexen Ebene innerhalb eines von einer Parabel begrenzten Gebietes liegen.
2. Die Untersuchungen über die Konvergenz positiv definiter Kettenbrüche (ein Begriff, der vom Verf. geprägt wurde). Ein Spezialfall, der ebenfalls vom Verf. eingeführt und untersucht wurde, sind die sogenannten J-Kettenbrüche.
In Kapitel I, II und III werden neben den Grundformeln verschiedene bekannte Sätze aus der Konvergenztheorie abgeleitet sowie am Schluß des Kapitels III die oben bereits erwähnten parabolischen Sätze. In den Kapiteln IV und V werden die positiv definiten Kettenbrüche und die J-Kettenbrüche behandelt. Bei seinen Beweisen bevorzugt Verf. funktionentheoretische Methoden. Die für die Beweise erforderlichen Hilfsmittel wie die Schwarzsche Ungleichung und der Stieltjes-Vitalische Konvergenzsatz werden im Buch selbst erarbeitet. Kapitel VI und VII bringen eine Anwendung der Sätze aus Kapitel V auf einige bereits bekannte Konvergenzsätze sowie eine Erweiterung der parabolischen Sätze. In Kapitel VIII werden die Zusammenhänge untersucht, die zwischen den Teilzählern eines Kettenbruches und seinem Konvergenzbereich bestehen, falls die Teilnenner des Kettenbruches gleich 1 sind.
Im zweiten Teil des Buches, der funktionentheoretischen. Betrachtungen gewidmet ist, bringt Verf. in Kapitel IX zunächst den Zusammenhang einer rationalen Funktion, deren Zählerpolynom vom Grad \(n\) und deren Nennerpolynom vom Grad \((n-1)\) ist, mit dem zugehörigen J-Kettenbruch. In Kapitel X werden die Beziehungen aus Kapitel IX zusammen mit früher besprochenen Konvergenzsätzen zur Gewinnung von Sätzen über die Wurzeln algebraischer Gleichungen sowie zur Auflösung derselben verwendet. Diese Methode der Wurzelbestimmung stammt von E. Frank und Verf. In Kapitel XI und XII wird die Entwicklung von J-Kettenbrüchen in Potenzreihen unter Verwendung orthogonaler Polynome behandelt sowie der Zusammenhang der J-Kettenbrüche mit der Matrizentheorie. Kapitel XIII, XIV, XVI und XVII handeln vom Stieltjesschen Integral, den Stieltjesschen Kettenbrüchen sowie vom Momentenproblem für beschränkte und unbeschränkte Intervalle und den zugehörigen Kettenbruchentwicklungen, ferner von der Hausdorffschen Summierbarkeit im Zusammenhang mit dem Momentenproblem. In Kapitel XV werden die beschränkten analytischen Funktionen und ihre Kettenbruchentwicklungen untersucht. Kapitel XVIII und XIX enthalten eine reiche Sammlung von Kettenbruchentwicklungen verschiedener Funktionen, abgeleitet aus dem Gaußschen Kettenbruch und dem Stieltjesschen Integral, während in Kapitel XX kurz die Padésche Tafel und ihr Zusammenhang mit der Theorie der Kettenbrüche besprochen wird.
Den Schluß des Buches bildet ein Verzeichnis von 143 im Buch zitierten wissenschaftlichen Abhandlungen.
Die im 2. Teil des Buches verwendeten Originalarbeiten des Verf. befassen sich, von dem Beitrag zur Gleichungstheorie abgesehen, meist mit Erweiterungen und Verallgemeinerungen von schon länger bekannten Ergebnissen.
Der Wert des Buches liegt vor allem darin, daß die neueren Ergebnisse der Kettenbruchlehre in einem Lehrbuch übersichtlich zusammengestellt wurden. Der Vollständigkeit halber wäre es jedoch zu empfehlen, in einer neuen Auflage auch noch einige klassische Sätze, wie beispielsweise das Pringsheimsche Konvergenzkriterium (Perron, a. a. O. Seite 254), aufzunehmen. Besonders hervorzuheben und für den Studenten sehr nützlich sind die Übungsaufgaben, die jedem Kapitel angefügt sind.
Das reichhaltige Lehrbuch, das nun neben dem bekannten Lehrbuch von Perron als zweites Buch die analytische Theorie der Kettenbrüche behandelt, verdient jedenfalls zur Förderung der Kettenbruchlehre eine entsprechende Verbreitung.

MSC:

30B70 Continued fractions; complex-analytic aspects
30-01 Introductory exposition (textbooks, tutorial papers, etc.) pertaining to functions of a complex variable
40A15 Convergence and divergence of continued fractions
40-01 Introductory exposition (textbooks, tutorial papers, etc.) pertaining to sequences, series, summability
26A42 Integrals of Riemann, Stieltjes and Lebesgue type
41A21 Padé approximation

Citations:

JFM 55.0262.09