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The number of representations of an integer as the sum of a prime and a \(k\)-free integer. (English) Zbl 0033.16203

Verf. beweist folgenden Satz: Es sei \(k\) ganz \(\ge 1\), \(H\) beliebig \(> 0\). Dann kann jede genügend große Zahl \(n\) dargestellt werden als Summe einer Primzahl und einer \(k\)-freien Zahl (d. h. durch eine, welche durch keine \(k\)-te Potenz einer Primzahl teilbar ist) und die Anzahl \(T(n)\) dieser Darstellungen ist
\[ \prod_{p\nmid n} \left(1 - \frac1{p^{k-1}(p-1)}\right) \operatorname{Li} n +O\left(\frac{n}{\log^H n}\right). \]
Für die Anzahl \(U(n)\) der \(k\)-freien Zahlen \(m\le n\), für welche die Darstellung \(m = p + l\) \((l\) ganz \(\ne 0)\) gilt, besteht dieselbe Formel, nur ist das obige Produkt jetzt über alle Primzahlen \(p\nmid l\) zu erstrecken.

MSC:

11P32 Goldbach-type theorems; other additive questions involving primes
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