Erdős, Paul; Wintner, Aurel Additive functions and almost periodicity \((B^2)\). (English) Zbl 0024.01601 Am. J. Math. 62, 635-645 (1940). Eine Funktion \(f(n)\) wird additiv genannt, wenn \(f(n_1n_2) = f(n_1)+f(n_2)\) für \((n_1,n_2) = 1\); \(f(1) = 0\), und multiplikativ, wenn \(f(n_1n_2) = f(n_1) f(n_2)\) für \((n_1, n_2) = 1\), \(f(1) = 1.\) Die Verff. knüpfen an die vorstehend besprochene Arbeit an, in deren Resultaten entweder notwendige oder hinreichende Bedingungen dafür enthalten sind, daß eine multiplikative Funktion fastperiodisch \((B^2)\) ist. Jene Resultate führen jedoch nicht zu einer Bedingung, die gleichzeitig notwendig und hinreichend ist. Die Verff. erörtern, warum dies nicht überraschen kann. Dagegen beweisen sie hier: eine additive Funktion \(f(n)\) ist fastperiodisch \((B^2)\) dann und nur dann, wenn beide Reihen \(\sum_p p^{-1} f(p)\) und \(\sum_{l=1}^\infty \sum_p p^{-l} |f(p^l)|^2\) konvergent sind. Der Beweis stützt sich auf ein früheres Ergebnis eines der Verff. (siehe Zbl 0014.15401), das nur für ein reellwertiges \(f(n)\) gilt, während hier \(f(n)\) komplexwertig sein darf. Im Beweise wird von Resultaten der vorstehend besprochenen Arbeit Gebrauch gemacht. Reviewer: Kienast (Zürich) Page: −5 −4 −3 −2 −1 ±0 +1 +2 +3 +4 +5 Show Scanned Page MSC: 11K70 Harmonic analysis and almost periodicity in probabilistic number theory 11K65 Arithmetic functions in probabilistic number theory 11N60 Distribution functions associated with additive and positive multiplicative functions Keywords:Number theory Citations:Zbl 0014.15401 PDFBibTeX XMLCite \textit{P. Erdős} and \textit{A. Wintner}, Am. J. Math. 62, 635--645 (1940; Zbl 0024.01601) Full Text: DOI