×

Some properties of polynomial sets of type zero. (English) Zbl 0022.01502

1. Ist \(J\) ein linearer Differentialoperator von der allgemeinen Gestalt \[ J [y(x)] = \sum_{n=0}^\infty L_n(x) y^{(n)}(x) \tag{1} \] und der besonderen Eigenschaft, daß \(J[x^n]\) ein Polynom ist, dessen Grad \(n\) nicht übersteigt, dann müssen die \(L_n(x)\) Polynome gleicher Eigenschaft sein. Besonders wichtig ist die Festsetzung, daß \(J[x^n]\) den genauen Grad \(n-1\) haben soll. Zu einer gegebenen Folge \(P_n(x)\) von Polynomen mit dem genauen Grade \(n\) bestimmt die Forderung \[ J [P_n] = P_{n-1} \tag{2} \] eindeutig den Operator \(J\). Dagegen gibt es eine unendliche Menge von Polynomfolgen \(P_n\), die einem vorgegebenen \(J\) zugeordnet sind; unter ihnen ist eine, die Grundfolge \(B_n\), durch die Eigenschaften \[ B_0(x) = 1,\quad B_n(0) = 0 \tag{3} \] eindeutig bestimmt. Eine notwendige und hinreichende Bedingung dafür, daß die Folge \(P_n\) einem gegebenen \(J\) zugeordnet ist, bildet die Existenz einer solchen Zahlenfolge \(a_n\), daß die Gleichung \[ P_n(x) = a_0B_n(x) + a_1B_{n-1}(x) + \cdots + a_nB_0(x), \quad a_0\ne 0, \tag{4} \] für jedes \(n\) besteht.
Wenn der Grad der Koeffizienten \(L_n(x)\) von (1) beschränkt und höchstens gleich \(k\) ist, soll \(\{P_n\}\) eine Folge vom Typ \(k\) heißen; andernfalls heißt \(\{P_n\}\) von unendlichem Typ. Der Typ braucht bei Ersetzung von \(P_n\) durch \(c_nP_n\) nicht erhalten zu bleiben. Nach seiner Erklärung haftet der Typ am Operator und bleibt ungeändert, wenn in (1) \(y^{(n)}(x)\) durch die \(n\)-te Iteration eines Operators \[ K[y] = k_1y' + k_2 y'' + \cdots,\quad k_1 \ne 0, \tag{5} \] ersetzt wird. Daher läßt sich bei gegebenem \(K\) für jede Folge \(P_n\) ein Operator \[ J_K[y] = \sum_{n=1}^\infty L_n(x)/K^n[y], \quad \text{ Grad von }L_n(x)\text{ kleiner oder gleich }n-1, \tag{6} \] eindeutig so bestimmen, daß \(J_K[P_n] = P_{n-1}\) ist.


2. Den Hauptgegenstand der Abhandlung bilden die Polynomfolgen vom Typ Null. Hier hat \(J\) die Gestalt \[ J[y] = c_1y'+ c_2y'' + \cdots,\quad c_1\ne 0; \tag{7} \] die entsprechende Potenzreihe \[ J(t) \cong c_1t + c_2t^2 + \cdots \tag{8} \] wird, ob sie konvergiert oder nicht, die erzeugende Reihe (Funktion) des Operators \(J\) genannt. Durch formale Reihenumkehrung entspringt daraus die Reihe \[ H(u) \cong s_1u + s_2u^2 + \cdots,\quad s_1\ne 0, \tag{9} \] so daß \(H(u) = t\), \(J(t) = u\) gilt. Es wird gezeigt, daß \[ e^{xH(u)} \cong \sum B_n(x)u^n \tag{10} \] ist. Wenn \(\{P_n\}\) eine \( J\) zugeordnete Polynomfolge und \(a_n\) durch (4) erklärt ist, so heißt \[ A(u) \cong a_0 + a_1u + a_2u^2 + \cdots \tag{11} \] die bestimmende Reihe von \(\{P_n\}\); es ergibt sich \[ A(u)e^{xH(u)} \cong \sum P_n(x)u^n. \tag{12} \] Durch Einführung weiterer Operatoren gelangt der Verf. zu einer Reihe von Sätzen, die die Polynomfolgen vom Nulltyp kennzeichnen. Wie er zeigt, gehören diesem Typ die Appellschen einschließlich. der Bernoullischen und der Hermiteschen Polynome mit der Eigenschaft \[ P'_n(x) = P_{n-1}(x) \tag{13} \] und der erzeugenden Funktion \(J(t) = t\) an, ebenso aber auch die Newtonschen Polynome (Binomialkoeffizienten) mit der erzeugenden Funktion \(J(t) = e^t - 1\) sowie allgemeiner alle Polynomfolgen, welche die Eigenschaft \[ \Delta P_n(x) = P_{n-1}(x) \tag{14} \] besitzen und die Beziehung \[ A(u) (1 + u)^x \cong \sum P_n(x)u^n. \tag{15} \] erfüllen. Auch die Laguerreschen Polynome mit \(J(t)=t/(t -1)\) zählen zu diesem Typ.


3. Besonders wichtig ist die Frage, wann die \(P_n\) einer Folge vom Nulltyp einer linearen Differentialgleichung mit Polynomkoeffizienten genügen. Setzt man bei gegebenem \(P_n\) \[ F_0(t) = \{uA'(u)/A(u)\}, \quad F_1(t) = \{uH'(u)\},\quad u = J(t), \tag{16} \] und erklärt die Zahlen \(r_{k0}\), und \(r_{k1}\) durch die Gleichungen \[ F_0(t) = \sum r_{k0}[K(t)]^k, \quad F_1(t) = r_{k1} [K(t)]^k \tag{17} \] so erfüllt \(y = P_n\) mit \(\lambda = n\) die Beziehung \[ \sum_{k=1}^\infty (r_{k0} + xr_{k1}) K^k[y] = \lambda y. \tag{18} \] Soll nun \(P_n\) eine Differentialgleichung von der Ordnung \(s\) befriedigen, dann muß die Summe linker Hand mit \(k = s\) abbrechen, so daß \(F_0\) und \(F_1\) Polynome in \(K(t)\) mit einer gemeinsamen Wurzel darstellen. Aus dieser Tatsache werden neue Kriterien hergeleitet und damit bewiesen, daß weder die Legendreschen Polynorne \(X_n\) selbst, noch irgendwelche \(c_nX_n\) eine Folge vom Typ Null bilden können.


4. Bei Beantwortung der Frage nach Polynomfolgen, die ein orthogonales System bilden, stützt sich der Verf. auf die für solche Folgen geltende Differenzengleichung nach dem Zeiger \[ Q_n(x) = (x + \lambda_n) Q_{n-1}(x) + \mu_nQ_{n-2}(x) \tag{19} \] in Verbindung mit der Forderung, daß \(P_n = c_nQ_n\) dem Nulltyp angehören soll, und gelangt zu den Bedingungen \[ \lambda_n = \alpha + b_n, \quad \mu_n = (n-1) (c + dn). \tag{20} \] Es ergeben sich vier Lösungsfälle; die Polynome des ersten und zweiten Falles genügen einer Differentialgleichung 2. Ordnung und schließen die Laguerreschen und die Hermiteschen Polynome ein; in den beiden anderen Fällen besteht dagegen keine Differentialgleichung endlicher Ordnung für die Lösungspolynome.


5. Den Abschluß der Arbeit bildet eine Untersuchung über Polynomfolgen vom Typ \(k > 0\). Unter Einschränkung der in 1. gegebenen Definition wird dem dort erklärten \(A\)-Typ \(k\) ein weiterer \(B\)-Typ \(k\) zur Seite gestellt. Ausgehend von der Tatsache, daß jeder Folge \(P_n\) eindeutig eine Polynomfolge durch die Vorschrift \[ P'_n = T_0P_{n-1} + T_1P_{n-2} + \cdots + T_{n-1}P_0,\quad n = 1, 2,\ldots, \tag{21} \] zugeordnet ist, wird \(\{P_n\}\) vom \(B\)-Typ \(k\) genannt, wenn der höchste Grad der \(T_n\) die Zahl \(k\) ist. Ein dritter, eigens eingeführter \(C\)-Typ erweist sich als identisch mit dem \(B\)-Typ: Für \(k = 0\) fallen \(A\)- und \(B\)-Typ zusammen; daß das aber für \(k > 0\) durchaus nicht zu geschehen braucht, beweist das Beispiel \[ n! (n+1)! P_n = x^n; \tag{22} \] hier ist \(\{P_n\}\) vom \(A\)-Typ 1, dagegen vom \(B\)-Typ \(\infty\). Bei den Legendreschen Polynomen ergibt sich \(k = \infty\) für beide Typenarten.

MSC:

42A10 Trigonometric approximation
PDFBibTeX XMLCite
Full Text: DOI