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Darstellende Geometrie nichteuklidischer Schraubflächen. (English) Zbl 0015.07601


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Geometry
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[1] K. Strubecker, ”Über die Schraubungen des elliptischen Raumes”, Sitzungsber. der Akad. Wien,139 (1930).–Vgl. auch seine grundlegende Arbeit ”Über nichteuklidische Schraubungen”, Monatsh. f. Math. u. Phys.,38 (1931). · JFM 56.0491.05
[2] Hieraus ergibt sich unmittelbar die von K. Strubecker angeführte kinematische Erzeugung der normierten elliptischen Schraublinie: ”Rotieren auf einem Drehhyperboloid zwei Erzeugende verschiedener Scharen mit konstanten Geschwindigkeitenc 1,c 2, dann beschreibt ihr Schnittpunkt eine elliptische Schraublinie vom Parameterp=(c 1+c 2):(c 1 2)”.
[3] Zwei Strahlen heißen parallel im Sinne Cliffords (parataktisch), wenn sie ein und dasselbe einer Schar entnommene Erzeugendenpaar der Maßfläche treffen. Je nach der benützten Schar unterscheidet man zwischen ”links-” und ”rechtsparallelen” Geraden. Zu jeder allgemeinen Geraden gehört ein Netz von Linksparallelen und ein Netz von Rechtsparallelen.
[4] Das Rechtsnetz allein verwendet bereits K. Strubecker in seiner Abhandlung ”Über kubische Verwandtschaften bei nichteuklidischen Schraubungen”, Sitzgsb. d. Ak. Wien,140 (1931) S. 570.–F. Hohenberg benützt beide Netze. ”Parallelprojektionen in nichteuklidischen Räumen”. Monatsh. f. Math. u. Phys.,42 (1935), S. 430 ff.
[5] Die auf J. Steiner zurückgehende Verwendung eines Strahlnetzes als Projektionsmittel wurde zum ersten Mal konstruktiv verwertet von L. Tuschel, ”Über eine Schraubliniengeometrie und ihre konstruktive Verwendung”, Sitzgsber. d. Akad. Wien,120 (1911), analytisch dargestellt von E. Müller, ”Über Punkttransformationen, die die Ebenen des Raumes in kougruente gerade Konoide mit parallelen Achsen überführen”, ebenda,126 (1917), und elementar abgeleitet von E. Kruppa, ”Über die Mises’sche Abbildung räumlicher Kräftesysteme”, Zeitschr. f. angew. Mathematik u. Mechanik,4 (1924).
[6] A. a. O. Die anf J. Steiner zurückgehende Verwendung eines Strahlnetzes als Projektionsmittel wurde zum ersten Mal konstruktiv verwertet von L. Tuschel, ”Über eine Schraubliniengeometrie und ihre konstruktive Verwendung”, Sitzgsber. d. Akad. Wien,120 (1911), analytisch dargestellt von E. Müller, ”Über Punkt-transformationen, die die Ebenen des Raumes in kongruente gerade Konoide mit parallelen Achsen überführen”, ebenda,126 (1917), und elementar abgeleitet von E. Kruppa, ”Über die Mises’sche Abbildung räumlicher Kräftesysteme”, Zeitschr. f. angew. Mathematik u. Mechanik,4 (1924), S. 919.
[7] Siehe etwa H. Wieleitner, ”Spezielle Ebene Kurven” (Sammlung Schubert,56) S. 230 ff.
[8] c 1 undc 2 sind gleichberechtigt und dürfen somit vertauscht werden. Jede Trochoide kann auf zwei Arten als Bahnkurve beim Abrollen eines Kreises auf einem andern entstehen; die Halbmesser des festen und des rollenden Kreises verhalten sich einmal wie (c 1 2):c 1, das andere Mal wie (c 2 1):c 2. Bei negativem Verhältniswert werden die Kreismitten durch den Berührungspunkt getrennt, bei positivem nicht.
[9] K. Strubecker, ”Über die Schraubungen des elliptischen Raumes”, S. 430. · JFM 56.0491.05
[10] Unsere Kongruenz zerfällt in zwei ”Hirstsche Kongruenzen”.
[11] K. Strubecker, ”Über die Schrabungen des elliptischen Raumes”, S. 425, 429.
[12] Teilweise bei F. Morley, ”On Adjustable Cykloidal and Trochoidal Curves”, Amer. Journal of Math.16, 1894), S. 191. · JFM 25.1156.03 · doi:10.2307/2369805
[13] Nach E. Wölffing, ”Bericht über den gegenwärtigen Stand der Lehre von den cylischen Kurven” (Bibliotheca mathematica 1901, S. 243) Erhält Françoise (Brief an Bellavitis 1872) eine Trochoide aus einer anderen als Ort der Sehnenmitten, deren Endpunkte dieselbe Differenz des Wälzungswinkels haben. Fouret (1868) allgemein für proportionale Teilung.
[14] G. Bellermann, ”Epicycloiden und Hypocycloiden”, Dissertation Jena 1867, stellt fest (S. 19, 21), daß die Verbindungssehne zweier mit konstanten Geschwindigkeiten auf einem Kreis rotierenden Punkte eine Zykloide umhüllt, während alle die Sehne proportional teilenden Punkte Trochoiden beschreiben, abgesehen von zwei Punkten mit Zykloidenbahnen.
[15] Dieser Satz findet sich im wesentlichen bei Fouret (L’institut, Paris 1868), der Trochoiden erhält, indem er auf gegen die Tangenten einer Zykloide gleich geneigten Geraden Stücke proportional zum Krümmungshalbmesser aufträgt. Moretblanc (Nouv. ann. de math. 1876) errichtet über den Krümmungsradien einer Zykloide ähnliche Dreicke und findet im Ort der Spitzen eine Trochoide.
[16] Aperçu historique. 1837.
[17] Mathesis VII. 1887.
[18] K. Strubecker, ”Über nichteuklidische Schraubungen”, Monatsh. f. Math. u. Phys.,38, (1931), S. 65. · JFM 57.0707.03
[19] E. Wölffing, ”Über Pseudotrochoiden”, Zeischr. f. Math. u. Phys.,44 (1899).–H. Wieleitner, ”Spezielle Ebene Kurven”, S. 211 ff., 259 ff.
[20] Vgl. E. Wölffing a. a. O.,”.
[21] Man setze in (9) x0=1, x1=a, x2=0, x3={\(\pm\)}1; man erhält dann als gleichung der Bahukurve in Polarkoordinaten:r=a.e {\(\pm\)}{\(\psi\)}/p.
[22] H. Wieleitner, S. 262. ”Spezielle Ebene Kurven” S. 211 ff., 259 ff.
[23] H. Wieleitner, S. 212. ”Spezielle Ehene Kurven”, S. 211 ff., 259 ff.
[24] eine innere Schraublinie erscheint im Grundriß als ”Poinsotsche Spirale” (Wieleitner, S. 264).
[25] Diese Erzeugung, die sich zum Zeichnen von Pseudozykloiden und trochoiden gut eignet, hängt innig zusammen mit der von Wölffing (a. a. O.,E. Wölffing, ”Uber Pseudotrochoiden”, Zeitschr. f. Math. u. Phys.,44, (1899). S. 166) angeführten Entstehung der Pseudotrochoide als Sonderfall der Rothschen ”Ephelix”. Nimmt man die Tangenten der log. Spiralen als bekannt an, dann ist auch die Tangentenkostruktion der Pseudotrochoide einfach: Man trägt in den PunktenA, B Tangentenvektoren im Sinne der Bewegung proportional zu den zugehörigen Radienvektoren auf und teilt die Verbindung ihrer Endpunkte im selber selben Verhältnis wieAB; der so erhaltene Punkt gehört der Tangente an.
[26] Für zusammenfallende Parazykloiden bewiesen von Wölffing (a. a. O.,. – Es sind natürlich anch komplex ähnliche Pseudozykloiden zugelasen.
[27] Die Linksschattengrenze der Wendelfläche etwa erscheint im Rechtsbild als elliptische zirkulare Kurve 3. Ordnung.
[28] ”Ein Abbildungsprinzip, welches die ebene Geometrie und Kinematik mit der räumlichen Geometrie verknüpft.” sitzgsber. d. Akad. Wien.,120 (1911). · JFM 42.0702.01
[29] ”Euklidische Kinematik und nichteuklidische Geometrie.” Zeitschr. f. Math. u. Phys.,60 (1912).–Vgl. die Darstellung bei E. Müller-Kruppa, ”Die linearen Abbildungen” (Vorlesungen über darstellende Geometrie, I), S. 240 ff.
[30] Satz XIII ist analog einem Satz für die gewöhnliche euklidische Schraubung, wo die Drehflucht der Lichtrichtung die Rolle vonC 1 {\(\times\)} spielt.
[31] Merkwürdigerweise erscheint bei dem der Fig. 4 zugrundegelegten Fallep=2 auch der von der Eigenschattengrenze verurschate Schlagschatten der Wendelfläche auf sich selbst im Bild als Kreis, was natürlich für allgemeinesp nicht mehr zutrifft.
[32] Vgl. das euklidische Seitenstück bei L. Burmester, ”Kinematische Flächenerzeugung vermittelst zylindrischer Rollung”, Zeitschr. f. Math. u. Phys.,33 (1888) und E. Müller, ”Über Schraubflächen, deren eine Erzeugendenschar aus gewöhnlichen Schraublinien besteht”, sitzgsber. d. Akad. Wien,118 (1909).
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