×

Des séries exponentielles de Cauchy. (French) JFM 62.1191.03

In der Ebene der komplexen Veränderlichen \(z\) seien \(C_k\) (\(k= 1, 2,\ldots\)) Kreise mit den Radien \(\varrho_k\), für die \[ \varrho_1 < \varrho_2 < \cdots < \varrho_n < \cdots, \quad \varrho_n \to \infty. \] Es sei \(C\) die Menge derjenigen Punkte aller \(C_k\), die in der Halbebene \(\operatorname{Re}(z) \geqq 0\) liegen. Es sei \(\pi(z)\) eine ganze Funktion mit nur einfachen Nullstellen, die eine Summe ist von zwei ganzen Funktionen \(\psi(z)\) und \(\chi(z)\), welche auf einer Menge \(C\) den Bedingungen \[ \left|\frac{\psi(z)}{\pi(z)}e^{\sigma z}\right| < K, \quad \left|\frac{\chi(-z)}{\pi(-z)}e^{\sigma z}\right| < K \] genügen, mit geeignet gewählten \(\varrho_k\) und \(\sigma > 0\), \(K > 0\). Es sei \(\sigma_0\) die obere Grenze aller \(\sigma\), für die solche Ungleichungen gültig sind. Weiter sei die Funktion \(f(x)\) der reellen Veränderlichen \(x\) meßbar (im Sinne Lebesgues) im Intervall \((x_0, x_1)\) mit \(x_1-x_0=\sigma_0\). Verf. nennt die Reihe \[ \sum_{r=\infty}^\infty c_re^{\lambda_r x} \quad \text{mit} \quad c_r = \frac{\psi(\lambda_r)}{\pi'(\lambda_r)}\int\limits_{x_0}^{x_1} e^{-\lambda_rt} f(t)\,dt \] eine der Funktion \(f(x)\) zugehörige Exponentialreihe. Er zeigt \[ \lim_{n\to \infty}\left[ \sum_{|\lambda_r|\leqq \varrho n} c_re^{\lambda_rx}- \frac 1\pi \int\limits_{x_0}^{x_1} \frac{\sin \varrho_n(x-t)}{x-t}f(t)\,dt\right]= 0 \] gleichmäßig im Intervall \(x_0 + \delta \leqq x \leqq x_1-\delta\) (\(\delta> 0\)). Dadurch wird das Studium der Konvergenz der Exponentialreihe zurückgeführt auf ein Dirichletsches Integral, und es werden deshalb für Exponentialreihen ähnliche Konvergenzbedingungen gültig sein, wie für Fourierreihen (die offenbar spezielle Exponentialreihen sind).
PDFBibTeX XMLCite