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The functions of Schläfli and Lobatschefsky. (English) JFM 61.0395.02

Es handelt sich um die gemeinsame Ableitung der Formeln, die Schläfli und Lobatschefsky für das Volumen eines doppelt rechtwinkligen Tetraeders im elliptischen bzw. hyperbolischen Raum gegeben haben. Dabei kommen Reihen von der Form \[ S(\alpha,\beta,\gamma)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-X)^n}{n^2} (\cos(2n\alpha)-\cos(2n\beta)+\cos(2n\gamma)-1)-\alpha^2+\beta^2-\gamma^2 \] zur Anwendung, wo ist: \[ \begin{aligned} X&=\frac{\sin\alpha\sin\gamma-D}{\sin\alpha\sin\gamma+D}, D=\sqrt{\cos^2\alpha\cdot\cos^2\gamma-\cos^2\beta},\\ 0&\leqq\alpha\leqq\frac\pi2,\quad0\leqq\beta\leqq\pi,\quad0\leqq\gamma\leqq\frac\pi2; \end{aligned} \] sie hängen mit dem Schläflischen Resultat \({\frac18}\pi^2f(\alpha,\beta,\gamma)\) durch die Beziehung \[ S(\alpha,\beta,\gamma)={\frac12}\pi^2f({\frac12}\pi-\alpha,\beta, {\frac12}\pi-\gamma) \] zusammen und werden als Schläflische Funktionen bezeichnet. Zum Schlüsse erfolgt Anwendung auf die regulären Polyeder im hyperbolischen Raum. (V 1.)

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