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Divisionsalgebren über Funktionenkörpern. (German) JFM 59.0160.01

Über dem Körper aller komplexen Zahlen existiert nur eine einzige Divisionsalgebra; Über dem Körper aller reellen Zahlen sind außer diesem Körper selbst der Körper aller komplexen Zahlen und die Algebra der reellen Quaternionen die einzigen Divisionsalgebren. Verf. beschäftigt sich mit dieser Frage im Falle eines Funktionenkörpers einer Unbestimmten. Bewiesen wird als Hauptsatz: \(\Omega \) sei ein algebraisch abgeschlossener Körper, \(\Omega (x)\) sei der Körper aller rationalen Funktionen von \(x\) mit \(\Omega \) als Grundkörper, \(k\) sei eine algebraische Erweiterung \(n\)-ten Grades über \(\Omega (x)\). Über \(k\) als Zentrum gibt es dann keinen Schiefkörper; mithin sind sämtliche Divisionsalgebren über \(k\) als Zentrum mit \(k\) isomorph. Für einen Funktionenkörper mehrerer Unbestimmten gilt: Ist der Grundkörper \(\Omega \) ein beliebiger kommutativer Körper, so existieren über dem Körper \(\Omega (x_1,x_2,\ldots,x_n)\) aller rationalen Funktionen in \(x_1,x_2,\ldots,x_n\), wobei \(x_1,x_2,\ldots,x_n\) Unbestimmte über \(\Omega \) sind, für \(n \geqq 2\) stets endliche Schiefkörper.

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Full Text: EuDML