Ridout, D. The \(p\)-adic generalization of the Thue-Siegel-Roth theorem. (English) Zbl 0085.03501 Mathematika 5, 40-48 (1958). Entsprechend dem von K. F. Roth [Mathematika 2, 1–20 (1955; Zbl 0064.28501)] erzielten großen Fortschritt über den Thue-Siegelschen Satz wird hier eine von K. Mahler [Math. Ann. 107, 691–730 (1933; Zbl 0006.10502; JFM 59.0220.01)] gegebene \(p\)-adische Verallgemeinerung dieses Satzes verschärft, indem der Siegelsche Exponent im Mahlerschen Satz (Satz 1 seiner Arbeit) durch den Rothschen ersetzt wird. Dieser Hauptsatz des Verf. (Theorem 1) lautet: „Die Gleichung \(a_0x^n + a_1x^{n-1} + \ldots + a_n = 0\) mit ganzen rationalen Koeffizienten und \(n\ge 2\) besitze im Körper der reellen Zahlen eine Wurzel \(\zeta\), im Körper der \(p_1\)-adischen Zahlen eine Wurzel \(\zeta_1\), …, im Körper der \(p_i\)-adischen Zahlen eine Wurzel \(\zeta_t\), wobei \(p_1, p_2,\ldots, p_t\) voneinander verschiedene Primzahlen bedeuten. Dann hat die Ungleichung \[ \min (1, \vert\zeta - h/q\vert) \prod_{\tau = 1}^t \min (1, \vert h - q\zeta_\tau\vert_{p_\tau} \le \max (\vert h\vert, \vert q\vert)^{-\kappa} \] höchstens endlich viele Lösungen in ganzen rationalen \(h\), \(q\) mit \((h, q) = 1\), wenn \(\kappa > 2\) ist“. Daraus folgt, wie bei Mahler, eine entsprechende Verschärfung seines Satzes 2 (über irreduzible binäre Formen vom mindestens 3. Grad), welche überdies dem Theorem 1 fast äquivalent ist. Beim Beweise vom Theorem 1 schließt sich Verf. eng an die Rothsche Arbeit an, indem er die dortigen Hilfssätze auf den vorliegenden Fall mit sinngemäßen Modifikationen überträgt. Reviewer: Orhan Ş. İçen Page: −5 −4 −3 −2 −1 ±0 +1 +2 +3 +4 +5 Show Scanned Page Cited in 5 ReviewsCited in 20 Documents MSC: 11J68 Approximation to algebraic numbers 11J61 Approximation in non-Archimedean valuations Keywords:\(p\)-adic generalization; Thue-Siegel-Roth theorem Citations:Zbl 0064.28501; Zbl 0006.10502; JFM 59.0220.01 PDFBibTeX XMLCite \textit{D. Ridout}, Mathematika 5, 40--48 (1958; Zbl 0085.03501) Full Text: DOI