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Zur Theorie der elliptischen Differentialgleichungen. I. (German) JFM 67.0353.02

Die elliptische Differentialgleichung \[ \varDelta u + a (x, y) \dfrac{\partial u}{\partial x} + b (x, y) \dfrac{\partial u}{\partial y} +c(x,y)u=f(x,y) \] wird in folgender Weise verallgemeinert: Multipliziert man mit dem Flächenelement \(d\omega\) und integriert über ein beliebiges (variables) Gebiet, so entsteht eine mit der gegebenen gleichwertige Gleichung. Dabei kann man \(\smallint\varDelta ud\omega\) durch das Randintegral – \(\int \dfrac{\partial u}{\partial n}ds\) ersetzen und statt \(a (x, y)d\omega\) usw. schreiben: \(d A\) usw., wo \(A = A (\omega)\) eine absolut additive Mengenfunktion ist, aber nicht die allgemeinste. Verf. studiert nun die allgemeinere Gleichung \[ -\int\limits_s\dfrac{\partial u}{\partial n}ds+\int\limits _\omega \biggl(\dfrac{\partial u}{\partial x}dA+\dfrac{\partial u}{\partial y}dB+udC\biggr)= F(\omega), \] wo \(A, B, C, F\) allgemeinere absolut additive Mengenfunktionen sind. Es wird für sie lediglich eine Art Hölderbedingung mit dem Exponenten \(\alpha > 0\) als erfüllt vorausgesetzt, d. h. die Schwankung innerhalb jedes Kreises von genügend kleinem Radius \(r\) soll \(< Cr^{1+\alpha}\) sein.
Zunächst wird durch sukzessive Approximationen das homogene Problem mit vorgegebenen Randwerten auf einem hinreichend kleinen Kreis gelöst, und dann auch für kleine Gebiete endlichen Zusammenhangs mit analytischen Randkurven, falls die Randfunktion hölderstetig ist. Sodann wird die inhomogene Gleichung für den Kreis auf gleiche Weise erledigt und schließlich auch die Existenz einer Greenschen Funktion für hinreichend kleine Gebiete mit analytischen Randkurven nachgewiesen.
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References:

[1] Vgl. G. C. Evans, Amer. Journ.51, S. 1-18.
[2] N. Gunther (Sur les Int?grales de Stieltjes ... Travaux de l’Institut Stekloff 1932, Cap. 9) hat eine etwas andere verallgemeinerung gewisser Differentialgleichungen studiert, wo die gesuchte Funktion Mengenfunktion ist.
[3] Acad. roy. Belg. Bull., 5. S?r.,22, S. 835.
[4] Regulare Randpunkte beim verallgemeinerten Dirichletschen Problem. Math. Zeitschr.39. · Zbl 0010.35603
[5] Vgl. Sitzungsber. Berl. Math. Ges.14 (1915), S. 130. Auch der in ? 7 bewiesene Hilfssatz 3 stellt eine Verallgemeinerung ?hnlicher Beziehungen dar, die Lichtenstein a. a. O. f?r Riemannsche Integrale hergeleitet hat. Allerdings mu?te der Beweis in unserem Falle v?llig anders gef?hrt werden.
[6] Vgl. Journ. f. reine und angew. Math.141, S. 20-22 und die Arbeit des Verf. Jber. Deutsch. Math. Vereinig.48, S. 182. Mittels ?hnlichkeitstransformation erkennt man ?brigens leicht, da?, wenn z. B.H die Konstante f?r den Einheitskreis ist, die Konstante f?r den Kreis vom RadiusR den WertH R =H?R haben darf. Nat?rlich hatte man gleich von vornherein auf den Einheitskreis transformieren k?nnen, wobei sich die KoeffizientenA, B, C nur mit gewissen Faktoren multipliziert h?tten.
[7] l. c. 1) Vgl. G. C. Evans, Amer. Journ.51; vgl. auch H. J. Binney, Transact. Amer. Math. Soc.37, S. 254-265.
[8] ?hnliche Absch?tzungen jedoch f?r gew?hnliche Integrale, finden sich bei U. Dini, Acta Math.25.
[9] Diese Absch?tzungen sind zwar nur f?r den Fall des Kreises hergeleitet, gelten aber offenbar ebenso wie die daran ankn?pfenden Bemerkungen f?r den Fall der allgemeineren GebieteT.
[10] Vgl. Acta Mathematica25, insbes. S. 194/195.
[11] Und zwar gleichm??ig f?r alle Gebiete ? mit st?ckweise glatten Randkurven von gleichm??ig beschr?nkter L?nge, wie man unmittelbar aus den drei vorangehenden Beziehungen folgert.
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