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Sur l’unicité de la géométrie projectve dans le plan. (French) JFM 66.0706.01

Die Sätze von Desargues und Pascal werden hier von der topologischen Seite beleuchtet. Sie gehören beide zu den Konfigurationen vom Typus (\(n_3\)) mit \(n = 10 \) bzw. \(n = 9\). Die frage, ob auch für andere Werte von \(n\) in der Ebene solche Konfigurationen existieren, wird im wesentlichen verneint bei Zugrundelegung folgender Axiome: 1) Die ebenen projektiven Verknüpfungsaxiome. 2) Jede durch eine Kette von Perspektivitäten erzeugte Abbildung einer Geraden auf sich, bei der fast alle Punkte (d. h. unendlich viele Punkte eventuell mit Ausnahme von endlich vielen) in Ruhe bleiben, läßt alle Punkte der Geraden liegen. 3) Durch jeden Punkt gibt es mindestens drei Geraden, auf jeder Geraden mindestens drei Punkte. – Durch diese Axiome sind zunächst endliche Geometrien ausgeschlossen. Zwei weitere Axiome beziehen sich auf den Begriff der Konfiguration. Darunter wird ein Inzidenzschema aus endlich vielen Punkten und Geraden verstanden, wobei zwei Punkte nicht gleichzeitig mit zwei Geraden inzident sind und jede Gerade (jeder Punkt) höchstens mit drei Punkten (Geraden) inzident ist. Ist ein Punkt mit genau drei Geraden inzident und dual, so heißt die Konfiguration regulär (Bezeichnung: (\(n_3\))). Sei \(K\) eine beliebige bestimmte reguläre Konfiguration aus \(N\) Punkten und \(N\) Geraden, die überdies nicht zerfallen soll; dann wird axiomatisch gefordert: 4) Ist \(K\) geometrisch realisiert eventuell mit Ausnahme einer Inzidenz, so soll allemal auch diese letzte Inzidenz bestehen. Dieses Axiom regelt die Inzidenzen, die in einem Punkt- und Geradennetz unter gewissen Umständen vorkommen müssen. Andererseits wird verlangt: Konstruiert man durch fortgesetztes Verbinden und Schneiden aus einer Anzahl willkürlicher Punkte das projektive Netz, wobei noch die Adjunktion willkürlicher Punkte auf bereits konstruierten Geraden zugelassen ist, so soll es nach Axiom 5 möglich sein, diese Konstruktion solange ohne das Auftreten zufälliger und überflüssiger Inzidenzen auszuführen, als das Netz aus weniger als \(N\) Geraden und höchstens \(N\) Punkten (oder umgekehrt) besteht. Eine rein topologische Analyse von \(K\) ergibt dann, daß \(K\) mindestens ein Dreieck gleichzeitig als Punkt- und Geradenfigur enthalten muß. Nach Voraussetzung existiert auf jeder Dreiecksseite noch ein weiterer Konfigurationspunkt \(S_i\), durch jede Dreiecksecke \(M_i\) noch eine weitere Gerade \(s_i\); dabei ist notwendig die Verbindung von \(S_i\) mit \(S_k\) eine Konfigurationsgerade \(g_l\), der Schnitt von \(s_i\) mit \(s_k\) ein Konfigurationspunkt \(P_l\). Nun führt folgende Fallunterscheidung zum Ziel: a) In mindestens einem Dreieck von \(K\) haben die \(s_i\) in \(K\) keinen Punkt gemein. In diesem Falle muß \(P_l\) auf \(g_l\) liegen für \(l=1,2, 3\), so daß durch \(M_3M_1S_2\) als ungerad bezifferte Punkte und \(P_2S_3S_1\) als gerad bezifferte Punkte eine Pascalkonfiguration bestimmt ist. Die zu a) duale Hypothese gibt nichts Neues. b) In jedem Dreieck von \(K\) haben die \(s_i\) in \(K\) einen Punkt \(S\) und die \(S_i\) eine Gerade \(s\) gemein. Ist nun für kein \(i\) \(S_i\) mit \(s_i\) inzident, so führt dieser Fall auf den Desarguesschen Satz für die Dreiecke \(M_1M_2M_3\) und \(N_1N_2N_3\), wo \(N_i\) der dritte Konfigurationspunkt auf \(SM_i\) ist. Ist jedoch \(S_1\) mit \(s_1\) inzident, so muß auch \(S_2\) mit \(s_2\) und \(S_3\) mit \(s_3\) inzident sein, und man erhält die Konfiguration (\(7_3\)), die aussagt, daß die drei Nebenecken eines vollständigen Viereckes kollinear sind. Diese Konfiguration ist mit den gewöhnlichen Anordnungsaxiomen unverträglich; die Frage bleibt offen, ob das auch für das vorliegende Axiomensystem gilt.

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