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Über die Beziehungen zwischen den Hölderschen und Laplace-Abelschen Mittelbildungen und den Satz von O. Hölder. (German) JFM 66.0260.01

Aus der Hölderschen Limitierbarkeit \(k\)-ter Ordnung von \((s_n)\) zum Werte \(s\) folgt die \(A\)-Limitierbarkeit von \((s_n)\) zum selben Wert. Dieser Höldersche Satz (Math. Ann., Leipzig, 20 (1882), 535-549; F. d. M. 14, 180 (JFM 14.0180.*)) wird direkt durch Angabe derjenigen Transformation bewiesen, welche die Hölderschen Mittel in die Abelschen überführt und der Permanenzbedingung genügt. Der entsprechende Satz für die Hölderschen Integralmittel wird auf ähnliche Weise direkt bewiesen.
Weiter werden die Beziehungen zwischen den Hauptlimites der gewöhnlichen Hölderschen und Cesàroschen Mittel positiver Folgen hergeleitet, wie sie vom Verf. und von Knopp (Math. Z. 42 (1937), S. 365-388; JFM 63.0168.*) für Integralmittel kürzlich gewonnen worden sind.
Schließlich werden die Schwankungsintervalle der Hölderschen und der Laplaceschen Integraltransformation der über jedes Intervall \((0, x)\) integrierbaren Funktion \(s(t)\) verglichen. \(H_k\) bezeichne die obere, \(h_k\) die untere Häufungsgrenze von \[ h^{(k)}(x))= \frac {1}{x} \int\limits _0^x h^{k-1}(t)\,dt;\quad k=1,2,\ldots ;\;\;h^0(t)=s(t); \] \(L\) bezeichne die obere, \(l\) die untere Häufungsgrenze der Laplaceschen Mittel \[ L(y) = L(y;\,s(t))=y\, \int\limits _0^\infty e^{-ty}\,s(t)\,dt. \] Unter der Voraussetzung \(s (t)=O\,(t^q)\) mit beliebigem \(q > 0\) gilt dann bei wohl bestimmten Konstanten \(\beta _k\), \(\gamma _k\) und \(\delta _k\) \[ h_k\beta _k-H_k\delta _k\leqq l\leqq L\leqq H_k\beta _k-h_k\delta _k \] sowie \[ L-l\leqq \gamma _k\,(H_k-h_k). \] Nach einem von Karamata stammenden Beispiel kann die vom Verf. angegebene Konstante \(\gamma _k\) nicht verbessert werden.
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Full Text: DOI EuDML