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Über die Ausreduktion ganzzahliger Gruppendarstellungen bei arithmetischer Äquivalenz. (German) JFM 66.0089.01

Es werden die Darstellungen einer Gruppe \(\mathfrak G\) in einem Hauptidealring \(\mathfrak o\) untersucht. \(\mathfrak o\)-Äquivalenz bedeutet Äquivalenz der Darstellungen mittels in \(\mathfrak o\) invertierbarer Matrizen, \(R\)-Äquivalenz eine solche mittels in \(R\) invertierbarer Matrizen, \(R\) der Quotientenkörper von \(\mathfrak o\). Ist eine \(\mathfrak o\)-Darstellung \(R\)-reduzibel, so ist sie auch \(\mathfrak o\)-reduzibel. Jede \(R\)-voll-reduzible \(\mathfrak o\)-Darstellung läßt sich \(\mathfrak o\)-äquivalent in folgende Normalform \(\mathfrak D\) bringen: \[ \mathfrak D=\begin{pmatrix} \l\,&\;&\;&\;&\,&\\ \varGamma _1&&&&&\ast\\ &\varGamma _2&&&&\\ &&\cdot&&&\\ &&&\cdot&&\\ &&&&\cdot&\\ 0&&&&&\varGamma _f \end{pmatrix},\;\; \varGamma _i=\begin{pmatrix} \l\,&\;&\;&\;&\,&\\ \varDelta _i^1&&&&&\ast\\ &\varDelta _i^2&&&&\\ &&\cdot&&&\\ &&&\cdot&&\\ &&&&\cdot&\\ 0&&&&&\varDelta _i^{fi}\end{pmatrix}, \] wobei die Darstellung \(\varDelta _i^{\mu }\) irreduzibel ist und \(\varDelta _i^\mu \) \(R\)-äquivalent \(\varDelta _i^\nu \) ist, aber \(\varDelta _i^\mu \) nicht \(R\)-äquivalent \(\varDelta _j^\nu \), wenn \(i\neq j\). Die \(\varGamma _i\) sind bis auf die Reihenfolge und \(\mathfrak o\)-Äquivalenz eindeutig bestimmt. Es wird nun das Problem untersucht, bei festen \(\varGamma _i\) alle \(\mathfrak o\)-Klassen zu finden, deren Normalform gerade die gegebenen \(\varGamma _i\) in der Hauptdiagonale enthält. Dies geschieht auf folgendem Wege: Es wird eine schärfere Äquivalenz eingeführt: Zwei \(\mathfrak o\)-Darstellungen in der Normalform heißen stark- oder \(\sigma \)-äquivalent, wenn sie durch \(\mathfrak o\)-Matrizen der Form \(\begin{pmatrix}\l\,&\,&\,&\,&\\ E_1&&&&\ast\\\vspace{-1\jot} &\cdot&&&\\\vspace{-1\jot} &&\cdot&&\\\vspace{-1\jot} &&&\cdot&\\\vspace{-1\jot} 0&&&&E_f\end{pmatrix}\) ineinander übergeführt werden können, wobei die \(E_{i}\) Einheitsmatrizen der Größe der \(\varGamma _i\) sind. Die \(\mathfrak o\)-Klassen der Darstellungen entstehen dann durch Klassenbildung aus den \(\sigma \)-Klassen. In §2 wird eine halbreduzierte \(\mathfrak o\)-Darstellung der Form \(x\to\begin{pmatrix} \l&\\ \varGamma _x&\varLambda _x\\ 0&\varDelta _x\end{pmatrix}\) untersucht. Die Gruppe \(\mathfrak G\) der \(x\) wird als endlich vorausgesetzt, auch über den Hauptidealring \(\mathfrak o\) werden noch weitere Voraussetzungen gemacht, die durch den Ring der ganzen Zahlen z. B. erfüllt werden. Bei festem \(\varGamma \) und \(\varDelta \) (jetzt sogar beliebige \(\mathfrak o\)-Darstellungen von \(\mathfrak G\)) gibt es nur endlich viele \(\sigma \)-Klassen, die sich durch die \(\varLambda _x\) unterscheiden. Diese \(\varLambda _x\) lassen sich explizit aufstellen, und die Klassenzahl \(\sigma (\varGamma, \varDelta )\) läßt sich als Produkt der Beträge der Elernentarteiler einer Matrix bestimmen. \(\sigma (\varGamma, \varDelta )\) ist nur von der \(\mathfrak o\)-Klasse von \(\varGamma \) und \(\varDelta \) abhängig. In §5 wird der allgemeine Fall von \(f > 2\) Darstellungen \(\varGamma \), \(\varDelta \),…untersucht und auf den Fall der zwei Darstellungen zurückgeführt. Auch hier lassen sich alle \(\sigma \)-Klassen explizit aufstellen. §3 bringt Hilfssätze über Kreisteilungspolynome, mit denen in §4 bewiesen wird, daß für ganzzahlige Darstellungen einer zyklischen Gruppe der Form \(\begin{pmatrix}\l&\\ \varGamma &\varLambda\\ 0&\varDelta \end{pmatrix}\), wobei \(\varGamma \), \(\varDelta \) irreduzibel von den Ordnungen \(m\) bzw. \(n\) sind, \(\sigma (\varGamma, \varDelta )=1\) ist, außer wenn \(n = mp^i\) ist, mit \(i>0\); dann ist \(\sigma =p^{\varphi (m)}\) (\(\varphi \) die Gaußsche Funktion). §6 bringt auch für den Fall \(f > 2\) für zyklische Gruppen weitere Vereinfachungen und enthält eine einfache Formel für die Anzahl der \(\sigma \)-Klassen. In §7 gelingt es, für die zyklischen Gruppen \(\mathfrak Z_p\) von Primzahlordnung eine Übersicht über alle Klassen von unzerfällbaren ganzzahligen Darstellungen zu erhalten. Es gibt \(2h + 1\) solche Klassen, \(h\) die Idealklassenzahl im Körper der \(p\)-ten Einheitswurzeln. Bereits die zyklische Gruppe der Ordnung vier besitzt unendlich viele Klassen unzerfällbarer Darstellungen beliebig hohen Grades. Auch ist die Zerfällung einer Darstellung in unzerfällbare bereits bei den \(\mathfrak Z_p\) für \(h > 1\) keineswegs eindeutig bis auf \(\mathfrak o\)-Äquivalenz und Reihenfolge.

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References:

[1] A. Speiser, Theorie der Gruppen von endlicher Ordnung; · JFM 63.0059.01
[2] B. L. van der Waerden, Moderne Algebra, I, II;
[3] H. Zassenhaus, Neuer Beweis der Endlichkeit der Klassenzahl bei unimodularer Äquivalenz endlicher ganzzahliger Substitutionsgruppen. Hamb. Abb. 1938. · Zbl 0021.30001
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