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Über die konforme Abbildung komplementärer Gebiete. (German) JFM 65.0413.01

Die Arbeit schließt an die vorstehend besprochene Arbeit des Verf. an. Die beiden Funktionen, die das Innere bzw. das Äußere einer einfach geschlossenen Kurve je auf das Innere des Einheitskreises abbilden, stehen in keinem einfachen funktionentheoretischen Zusammenhang. In der erwähnten Arbeit hat Verf. gezeigt, daß der Zusammenhang durch gewisse Integralgleichungen für die entsprechenden “Greenschen Belegungen” vermittelt wird. Durch Einführung sog. Greenscher Koordinaten, d. h. vom Inneren des Einheitskreises aus durch konforme Verpflanzung auf das betrachtete Gebiet übertragener Polarkoordinaten, gelingt es, Fourier-Entwicklungen für die betrachteten Belegungen anzugeben (vom Verf. als Robin-Entwicklungen bezeichnet) und zu expliziten Formeln zu gelangen, die die Abbildung des Außengebietes vermitteln, wenn diejenige des Innengebietes bekannt ist, und umgekehrt.
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References:

[1] Vgl. die seinerzeit von Koebe in Jena angeregte, dann aber in Marburg vorgelegte Dissertation von Joh. Philipps, ”Über die konforme Abbildung durch Rollkurven begrenzter Gebiete”, Marburg 1919, S. 62ff.
[2] Diese Funktion {\(\omega\)} (xy) ist bis an die Randkurve {\(\sigma\)} heranstetig. Denn, wie schon in I, S. 542 bemerkt wurde, besitzt die Greensche Funktion {\(\gamma\)}(xy) sicher bis an {\(\sigma\)} heran stetige erste partielle Ableitungen, und das gilt dann nach Cauchy-Riemann auch von {\(\omega\)} (xy). Daraus folgt dann natürlich auch die Stetigkeit von {\(\omega\)} (xy) selber.–Zugleich ist aber {\(\omega\)}(xy) mehrdeutig, die verschiedenen Werte an derselben Stelle unterscheiden sich immer um Vielfache von 2 {\(\pi\)} [vgl. die nächste Anmerkung].
[3] Man könnte, da {\(\omega\)} nur bis auf eine additive Konstante bestimmt ist, dieses 8=0 annehmen–doch dürfte sich eine solche Festlegung nicht empfehlen.
[4] Vgl. z. B. Lichtenstein, Math. Annalen, Bd. 67 (1909).–Wegen weiterer Literatur auch Encyclopädie d. math. Wiss., Bd. II, Teil 3, S. 247.
[5] Bis auf eine beliebige Drehung des Einheitskreises, die in der schon erwähnten Unbestimmtheit von {\(\omega\)} ihren Grund hat, ist die Abbildung bekanntlich durch diese Eigenschaft eindeutig bestimmt.
[6] Vgl. z. B. Bieberbach, Lehrbuch der Funktionentheorie, Bd. 1, 4. Aufl. (1934 bei Teubner) S. 62.
[7] Die hinzugefügten Zahlenfaktoren sind an sich ziemlich unwesentlich–sie werden sich aber in dieser Weise später als zweckmäßig erweisen.–Übrigens ist, wie ich nachträglich bemerke, schon C. Neumann im Jahre 1878 einmal ganz ähnlich vorgegangen in seinem Aufsatz ”Entwicklung nach Elementarpotentialen” in den Leipziger Berichten, Bd. 30 [vgl. vor allem S. 56]. Auch sonst enthält dieser Aufsatz manches mit meinen Untersuchungen verwandtes, doch besteht ein großer Unterschied darin, daß C. Neumann nicht mit Greenschen Koordinaten arbeitet (was fast Wunder nehmen muß, da er sie bereits in der oben, Anm.12, zitierten Arbeit von 1861–wenn auch nicht unter diesem Namen–tatsächlich benutzt). In seiner obigen Arbeit von 1878 ist der Parameter {\(\omega\)} der Randpunkte im wesentlichen willkürlich und demgemäß tragen auch die Resultate weit unbestimmteren Charakter.
[8] Vgl. z. B. A. Korn, Lehrbuch der Potentialtheorie II, S. 95.–Der Akzent am Summenzeichen soll hier, wie auch später immer, noch ausdrücklich darauf aufmerksam machen, daß die Summation erst mitn=1 beginnt.
[9] Vgl. unten die Anm. 19.
[10] Wegen dieser Form des Ansatzes vgl. unten die Anm. 17.
[11] Vgl. Hurwitz, Math. Annalen, Bd. 57, S. 429 (und wegen des Historischen auch Bd. 59, S. 553).–Das Wesentliche ist, daß aus ”Äquivalenzen” eine ”Gleichung” folgt. Aber auch wo wir bei Äquivalenzen stehen bleiben werden, also eigentlich nur die F.-K. angeben, dürfen wir die betreffenden Funktionen damit als bestimmt ansehen: denn eine stetige Funktion (und nur um solche handelt es sich immer) kann man sich, auch wenn ihre Fourier-Reihe nicht konvergiert, aus ihren F.-K., z. B. nach dem Fejèrschen Verfahren der Mittelbildung, bestimmt denken.
[12] Die erste Gleichung (32) stellt nach (25”) nur die bekannte Tatsache der Massengleichheit aufeinanderfolgender Robinscher Belegungen dar [vgl. Stud., S. 58]
[13] Der Buchstabe: A soll (zur Vermeidung witerer Indizes) die Auszeichnung der Zahl {\(\alpha\)} andeuten.
[14] Auch diese letztere Tatsache ergibt sich leicht aus der in Formel (90) auf S. 469 in Bd. 102 der Math. Annalen angegebenen. Abschätzung.
[15] Diese Beschränktheit der Matrizen (J) und (A) habe ich bisher nicht bewiesen, wenn ich sie auch für äußerst wahrscheinlich halte. Dieser Nachweis der Beschränktheit würde vielleicht manche Vereinfachungen in unseren Ausführungen gestatten.
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