×

Zur Arithmetisierung des Beweises des Minkowskischen Diskriminanten- und Kronecker-Weberschen Einbettungssatzes. (German) JFM 65.0111.01

Verf.s Arithmetisierung enthält dadurch eine Lücke, daß sein arithmetischer Beweis des Satzes 2, daß jede Einheit des \(l\)-ten Kreisteilungskörpers \(K(\zeta)\) das Produkt einer Einheitswurzel und einer Einheit aus \(K(\zeta+\zeta^{-1})\) ist, im Koeffizientenvergleich auf S. 240, Z. 7 von unten, wegen \(\zeta^{l-1}=-\zeta^{l-2}-\cdots-\zeta-1\) nicht stichhaltig ist. Aus diesem und dem Weberschen Satz, daß für die erzeugende Substitution \(S = (\zeta\to\zeta^r)\) in \(K(\zeta)\) ein Ideal, dessen \(l\)-te und \((S - r)\)-te Potenz Hauptideale sind, selbst Hauptideal ist, wird arithmetisch bewiesen:
Ist die Diskriminante eines zyklischen Körpers \(l\)-ten Grades \(K\) eine Potenz \(l^a(a\geqq0)\), so liegt \(K\) im Körper der \(l^3\)-ten Einheitswurzeln. Mit mehr idealtheoretichem Rüstzeug könnte der Beweis einfacher werden. Unmittelbar folgt dann der Minkowskische Diskriminantensatz für zyklische und damit auch für auflösbare Körper, und hieraus wieder einfacher als hier, etwa nach A. Speiser (J. reine angew. Math. 149 (1919), 174-188; F. d. M. 47, 92 (JFM 47.0092.*); insbesondere S. 178-180), daß jeder absolut Abelsche Zahlkörper ein Kreiskörper ist.

Citations:

JFM 47.0092.*
PDFBibTeX XMLCite
Full Text: DOI EuDML