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Approximationseigenschaften und Strahlengrenzwerte meromorpher und ganzer Funktionen. (English) JFM 64.1067.01

Während der Weierstraßsche Annäherungssatz die Möglichkeit beliebig genauer und gleichmäßiger Annäherung einer stetigen Funktion \(f(x)\) auf einem endlichen Intervall durch ganze rationale Funktionen feststellt, hat eine Carlemansche Erweiterung (Ark. Mat. Astron. Fys. 20 B (1927) Nr. 4; F. d. M. 53, 237 (JFM 53.0237.*)) eine entsprechende Aussage für das unendliche Intervall \(-\infty < x < + \infty\) und Annäherung durch ganze transzendente Funktionen zum Ziele.
Verf. gibt einen Neuaufbau des Carlemanschen Ergebnisses -auf Grund eines eingehenden Studiums im Bereich des Satzes von Runge –, baut das Ergebnis planmäßig zu voller Tragweite aus und beschäftigt sich eingehend mit einer Reihe von Anwendungen. Der Ausbau bezieht sich einmal auf die Tatsache, daß auch gebrochene Transzendenten \(g(z)\) zur Näherung herangezogen werden können, und zweitens auf die Erweiterung der Punktmenge, wo die Annäherung möglich ist. Hierbei werden interessante, aber nicht abschließende Sätze gefunden; notwendige und hinreichende Strukturbedingungen haben erst im Anschluß an Verf. M. Keldych und M. Lavrentieff gegeben (C. R. Acad. Sci. URSS (2) 23 (1939), 746-748; F. d. M. 65. Vgl. auch die Besprechung des Ref. in Zbl. Math. 21, 335).
Die Näherung kann, wie schon bei Carleman, gleichmäßig auch vermöge einer Fehlervorschrift \(\varepsilon =\varepsilon(r) \to 0\) für \(r\to \infty\) hergestellt werden: \(|f(z)-g(z)|< \varepsilon (|z|)\).
Als ein Kernergebnis der Arbeit kann ein Satz gewertet werden, der es erlaubt, mehrere verschiedene analytische Funktionen zugleich durch eine einzige gebrochene Transzendente anzunähern, und zwar auf paarweise fremden Mengen, die (im Endlichen abgeschlossene) Bereiche sein dürfen, und gleichmäßig für vorgelegtes \(\varepsilon(r)\).
Die schönen Anwendungen beziehen sich auf (das Vorhandensein und) die Herstellung ganzer und gebrochener Transzendenten, für welche möglichst viele Halbstrahlen arg \(z=\varphi\) vom Ursprung aus Zielwege mit den (soweit als möglich vorgeschriebenen) Zielwerten 0 oder \(\infty\) (oder auch beliebig endlich) sind. Die Belegung mit Zielwerten ist eine Funktion \(\zeta(\varphi)\), offenbar von der Baireschen Klasse 0 oder 1, und zwar sind solche und nur solche \(\zeta(\varphi)\) möglich, deren Konstanzintervalle auf der Kreislinie dicht liegen. Ein ähnliches Beispiel auch für reguläre Funktionen im Einheitskreis.

Citations:

JFM 53.0237.*
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