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Zur Theorie der Modulformen \(n\)-ten Grades. (German) JFM 64.0979.01

C. L. Siegel hat in seiner Theorie der quadratischen Formen (Ann. Math., Princeton, (2) 36 (1935), 527-606; F. d. M. \(61_{\text I}\), 140) die Klasseninvariante \[ f(\mathfrak S,\mathfrak X)=\sum_{\mathfrak C} e^{\pi i\text{Sp}(\mathfrak C'\mathfrak{SCX})} \] einer symmetrischen \(m\)-reihigen ganzzahligen Matrix \(\mathfrak S\) definiert. \(\mathfrak X\) ist symmetrisch und \(n\)-reinig, \(\mathfrak C\) durchläuft alle ganzzahligen rechteckigen \((m,n)\)-Matrizen. Verf. zeigt, daß \(f(\mathfrak S,\mathfrak X)\) durch Teilwerte der Riemannschen Thetafunktion in \(n\) Variablen ausgedrückt werden kann. Für die ebenfalls bei Siegel definierte Geschlechtsinvariante von \(\mathfrak S\) \[ F(\mathfrak S,\mathfrak X)=\sum_{\mathfrak S_h\lor\mathfrak S} \frac{f(\mathfrak S_h\mathfrak X)}{E(\mathfrak S_h)}\cdot\left( \sum_{\mathfrak S_h\lor\mathfrak S} \frac 1{E(\mathfrak S_h)}\right)^{-1} \] (\(E(\mathfrak S)\) ist die Anzahl der ganzzahligen linearen Transformationen von \(\mathfrak S\) in sich) folgt dann insbesondere für \(\mathfrak S =\mathfrak E\) die Darstellung der Geschlechtsinvariante des Geschlechts der Einheitsmatrix durch Thetateilwerte. Andererseits gab Siegel eine Darstellung durch verallgemeinerte Eisensteinreihen \[ F(\mathfrak S,\mathfrak X)=\sum_{\mathfrak A,\mathfrak B} (\mathfrak S,\mathfrak A, \mathfrak B)|\mathfrak{AX}+\mathfrak B|^{-\tfrac m2}, \] deren Koeffizienten \(H(\mathfrak S, \mathfrak A, \mathfrak B)\) für \(\mathfrak S=\mathfrak E\) und \(m \equiv 0(4)\) hier berechnet werden.
Bei Anwendung der Modulsubstitutionen \(n\)-ten Grades \(\mathfrak X_1= (\mathfrak{GX}+\mathfrak H)(\mathfrak {KX}+\mathfrak L)^{-1}\) mit \(\mathfrak{GH}'= \mathfrak{HG}'\), \(\mathfrak{KL}'=\mathfrak{LK}'\), \(\mathfrak {GL}'-\mathfrak{HK}'=\mathfrak E\) ist \(F(\mathfrak E, \mathfrak X)\) für \(m\equiv 0(8)\) Modulform \(n\)-ten Grades zur Untergruppe \(U_1\), für die \(\mathfrak{GH}'\) und \(\mathfrak{KL}'\) “gerade Matrizen” sind, für \(m\equiv 4(8)\) dagegen Modulform für die Untergruppe \(U_2\) mit \(\mathfrak K\equiv\mathfrak N\;(\text{mod}\;2)\). Dabei heißt eine symmetrische Matrix gerade, wenn die zugehörige quadratische Form ganzzahlige Koeffizienten besitzt und nur gerade Zahlen darstellt; \(\mathfrak N\) ist die Nullmatrix.

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References:

[1] Hardy, Trans. Am. Math. Soc.21 (1920), S. 255-284. Man vergleiche auch: Mordell, Quarterly Journal of Math.48 (1917), S. 93-104 und Mordell, Trans. Cambridge Phil. Soc.22 (1919), S. 361-372. · doi:10.1090/S0002-9947-1920-1501144-7
[2] Siegel, Annals of Math. (2)36, Nr. 3 (1935), S. 527-606. In der Folge mit S. in den Anmerkungen bezeichnet. · Zbl 0012.19703 · doi:10.2307/1968644
[3] Alle diese Begriffe und im folgenden angewendeten, aber nicht bewiesenen Sätze über Matrizenpaare siehe S., Seite 590-594.
[4] Philosophical Transactions157 (1867). Collected Papers I, S. 480.
[5] ?Über die Bedingungen, unter welchen zwei quadratische Formen mit rationalen Koeffizienten ineinander rational transformiert werden können.? Crelle100, S. 449 bis 458.
[6] In einem anderen Aufsatz werde ich beweisen, daß die Reihe (8) fürm>2 (n+1) absolut konvergiert.
[7] ?Grundlagen für eine Theorie der quadratischen Formen mit ganzzahligen Koeffizienten.? Erster Teil. Kap. II und III.
[8] S., Seite 601.
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