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Ein Approximationsproblem. (German) JFM 64.0360.02

In der elektrischen Fernmeldetechnik tritt die Aufgabe auf, in der Funktion \[ W(x)=c\sqrt{\frac{x+1}{x-1}} \prod_{\nu=1}^m \frac{x-a_\nu}{x-b_\nu} \tag{\text{A}} \] die Konstanten \(a_\nu\), \(b_\nu\) (\(\nu = 1,\,\ldots,\, m\)) und \(c\) bei festgehaltenem \(m\) so zu bestimmen, daß \(W (x)\) im Intervall \(|x|\geqq\dfrac1k\) (\(0<k<1\)) möglichst wenig von 1 abweicht. Verf. löst diese bereits von W. Cauer (Math. Z. 38 (1933), 1-44; F. d. M. \(59_{\text{I}}\), 781) behandelte Aufgabe mit Hilfsmitteln aus der Theorie der elliptischen Funktionen. Er erhält für die in Frage stehenden Konstanten \[ \begin{gathered} -a_\nu=b_\nu=\mathop{\text{sn}}\left(\frac\omega2-\frac{2\nu\omega}{2m+1}, k\right),\\ c=\sqrt{1-k_1^2}, \quad k_1=k^{2m+1}\prod_{\nu=0}^{2m} \mathop{\text{sn}}\nolimits^2\left(\frac{2\nu+1}{2m+1}\frac\omega2,k\right), \end{gathered} \] worin \[ \omega = 2 \int\limits_0^1 \bigl[(1 - t^2) (1 - k^2 t^2)\bigr]^{-\frac12}\, dt \] bedeutet, und zeigt, daß die mit diesen Konstanten bestimmte Funktion \(W (x)\) im Intervall \(| x | > \dfrac1k\) die größtmögliche Anzahl von Extremwerten hat und unter allen Funktionen von der Bauart (A) am wenigsten von 1 abweicht. In ähnlicher Weise werden zwei weitere ebenfalls bereits von Cauer erörterte Approximationsfunktionen behandelt.
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