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Sur les séries de fonctions orthogonales bornées dans leur ensemble. (French) JFM 64.0218.01

Sei \(\varphi_1, \, \varphi_2, \, \varphi_3, \ldots\) ein im Intervall \((0, \,1)\) normiertes Orthogonalsystem. Bekanntlich konvergiert \(\sum\limits_{n=1}^{\infty} c_n \varphi_n(x)\) fast überall in \((0, \,1)\), falls \(\sum\limits_{n=1}^{\infty} (\log \,n)^2 c_n^2\) konvergiert; Verf. fragt, ob, falls \(|\, \varphi_n(x) \,| \leqq M\) für alle \(x\) und \(n\) ist, die Konvergenz von \(\sum\limits_{n=1}^{\infty} (\log \,n) c_n^2\) zu der von \(\sum\limits_{n=1}^{\infty} c_n \varphi_n\) ausreicht. Dies ist zu verneinen, denn es besteht der Satz: Die positive wachsende Funktion \(W(n)\) genüge der Bedingung \(\lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{W(n)}{(\log \,n)^2}=0\). Man kann ein normiertes gleichmäßig beschränktes Orthogonalsystem derart herstellen und dazu eine Folge \(c_1, \,c_2, \,c_3, \ldots\) bilden, daß \(\sum\limits_{n=1}^{\infty} c_n \varphi_n(x)\) fast überall divergiert und \(\sum\limits_{n=1}^{\infty} W(n) \,c_n^2\) konvergiert. Das Konstruktionsverfahren ist mühsam und langwierig.

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