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On Jordan curves possessing a tangent everywhere. (English) JFM 63.0647.03

In Beantwortung zweier von M. Fréchet neuerdings gestellten Fragen wird gezeigt: (1) Es gibt (sogar rektifizierbare) einfache ebene Bogen \(\mathfrak B\), welche in jedem ihrer Punkte differenzierbar sind und wobei auf \(\mathfrak B\) eine perfekte Punktmenge \(\mathfrak P\) vorhanden ist von folgender Beschaffenheit: Es existiert keine (stetige) Parameterdarstellung \(\mathfrak x(t)\) von \(\mathfrak B\) derart, daß in irgendeinem vorgegebenen Punkte \(P\subset\mathfrak P\) die Ableitung von \(\mathfrak x\) nach \(t\) existiert und gleichzeitig von null verschieden ist. Dabei heißt \(\mathfrak B\) im Punkte \(Q\) differenzierbar, falls die Geraden \(\overline{QQ'}\) durch \(Q\) und einen zu \(Q\) auf \(\mathfrak B\) benachbarten Punkt \(Q'\) einen eindeutig bestimmten Limes besitzen, wenn \(Q'\) auf \(\mathfrak B\) gegen \(Q\) rückt; ferner wird unter der Ableitung \(\mathfrak x'(t)\) des Vektors \(\mathfrak x(t)=(x(t), y(t)\)) nach \(t\) verstanden der Vektor \((x'(t), y'(t))\). – (2) Auf jedem einfachen, in jedem seiner Punkte differenzierbaren Bogen \(\mathfrak B\) (im dreidimensionalen Raume) ist bei geeigneter Wahl der Parameterdarstellung \(\mathfrak x(t)\) die Ableitung \(\mathfrak x'(t)\) vorhanden und von null verschieden überall bis auf höchstens eine Lebesguesche Nullmenge \(\mathfrak N\) von Stellen \(t\) derart, daß das Bild von \(\mathfrak N\) auf \(\mathfrak B\) vom linearen Maße null ist. Der Parameter kann übrigens so gewählt werden, daß die Koordinaten von \(\mathfrak x\) als Perron-Integrale darstellbar sind.
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Full Text: EuDML