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Die Struktur periodischer Transformationen von Flächen. (German) JFM 63.0553.03

Danske Vidensk. Selsk. Math.-fys. Medd. 15, Nr. 1, 77 s (1937).
\(\varphi\) sei eine orientierbare geschlossene oder von endlich vielen Kurven berandete Fläche, \(\tau\varphi\) eine die Orientierung erhaltende topologische Abbildung von \(\varphi\) auf sich, die periodisch ist mit der Periode \(n\). In der Fundamentalgruppe \(F\) von \(\varphi\) induziert \(\tau\) bekanntlich eine Familie von Automorphismen (deren Mitglieder sich nur durch Transformation mit einem inneren Automorphismus unterscheiden); wegen der Periodizität von \(\tau\) ist die \(n\)-te Potenz eines solchen Automorphismus ein innerer Automorphismus. Der Hauptteil der Arbeit besteht in der Herleitung einer “Normalform” \(I\) als Repräsentanten der durch \(\tau\) induzierten Automorphismenfamilie von \(F\). Das geschieht in der Weise, daß für die Modulfläche \(M\) von \(\tau\varphi\) (die aus \(\varphi\) durch Identifizieren von bei \(\tau\) äquivalenten Punktsystemen entsteht) ein Erzeugendensystem der Fundamentalgruppe \(T\) gefunden wird, von dem alle Elemente bis auf eins – \(t\) – auch zu \(F\) gehören, während \(t^n\) die erste in \(F\) liegende Potenz von \(t\) ist und zusammen mit den übrigen Erzeugenden von \(T\) den Normalteiler \(F\) erzeugt. Übrigens benutzt Verf. dabei überzählige Erzeugende, nämlich nicht nur die Elemente eines geeigneten kanonischen Schnittsystems von \(M\), sondern auch deren Transformierte mit \(t, t^2,\ldots, t^{n-1}\). Die Normalform \(I\) ist der durch Transformation mit \(t\) bestimmte Automorphismus von \(F\), der sich bei der speziellen Wahl der Erzeugenden verhältnismäßig einfach angeben läßt. Verf. beschränkt sich dabei zunächst auf den Fall, daß \(\varphi\) unverzweigt über \(M\) liegt, was sich durch Ausschneiden von Umgebungen der etwa vorhandenen Verzweigungspunkte erreichen läßt. Das Wiedereinheften solcher Umgebungen, deren periodische Transformationen bekannt sind, läßt sich übersehen: Es hat auf \(I\) gar keinen Einfluß, ein System von Punkten \(x, \tau x,\ldots,\tau^{m-1}x\) von \(\varphi\), die bei \(\tau^m\) (aber keiner niedrigeren Potenz von \(\tau\)) Fixpunkte sind, hat in \(F\) das Auftreten von \(m\) neuen Relationen zur Folge, so daß in der Normaldarstellung von \(F\) das Auftreten von Verzweigungspunkten unmittelbar erkennbar wird. Im einzelnen ist bei der Durchführung eine Fallunterscheidung notwendig, je nachdem das Geschlecht \(q\) von \(M > 0\) oder \(= 0\) ist.
Auf Grund der Normaldarstellung \(I\) gelangt Verf. zu einer Beschreibung der periodischen Transformation \(\tau\varphi\) durch Einteilung von \(\varphi\) in Fundamentalbereiche und Angabe der durch \(\tau\) bewirkten zyklischen Vertauschung. Er leitet ferner den Äquivalenzsatz ab: \(\varphi\) und \(\varphi'\) seien homöomorphe Flächen, \(\tau\varphi\) und \(\tau'\varphi'\) die Orientierung erhaltende periodische Transformationen; dann und nur dann sind \(\tau\) und \(\tau'\) topologisch äquivalent, nötigenfalls nach Umkehrung der Orientierung einer Fläche, wenn sich die multiplen Punkte von \(\varphi\) bei \(\tau\) und die Randkurven von \(\varphi\) den multiplen Punkten von \(\varphi'\) bei \(\tau'\) und den Randkurven von \(\varphi'\) so zuordnen lassen, daß entsprechende Punkte bzw. Kurven gleiche Valenz haben. Dabei ist die Valenz einer Randkurve durch drei Zahlen \([m, \lambda, \sigma]\) folgendermaßen definiert: Über einer Randkurve \(k\) von \(M\) liegen \(m\) Randkurven \(\varkappa_1,\ldots,\varkappa_m\) von \(\varphi\), deren jede \(k\) \(\lambda\)-fach bedeckt; \(\sigma\) ist dadurch bestimmt, daß durch \(\tau^{\sigma m}\) jedes \(\varkappa_{\mu}\) so in sich transformiert wird, daß jeder Punkt in den in positiver Richtung nächsten ihm äquivalenten Punkt übergeht. Die Valenz multipler Punkte wird durch die Valenz der beim Ausschneiden entstehenden Randkurven bestimmt.
Zum Schluß behandelt Verf. noch den in der eindimensionalen Homologie-Gruppe induzierten periodischen Automorphismus und das zugehörige charakteristische Polynom. Für periodische Transformationen gelangt man hier unmittelbar zur Spurformel für die algebraische Anzahl der Fixpunkte. Ferner zeigt sich, daß – abgesehen von einfachen Ausnahmen (Kreisscheibe, Kugel, Kreisring, Torus ohne Verzweigungspunkte) -der topologische Typus der Flächenabbildung weitgehend durch das charakteristische Polynom des Automorphismus der Homologiegruppe bestimmt ist: die durch die Homologiegruppe bestimmten Typen von Abbildungen werden bei der feineren Unterteilung durch die Fundamentalgruppe nur je in endlich viele Untertypen aufgespalten.