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Eine Umkehrung des zweiten Hauptsatzes der Wertverteilungslehre. (German) JFM 63.0284.02

Verf. hebt den Kern einer Untersuchung von Collingwood (C. R. Acad. Sci., Paris, 179 (1924), 1125-1127; F. d. M. 50, 213 (JFM 50.0213.*)-214) in einem sehr klaren Hilfssatz verzerrungstheoretischer Natur heraus. Er beweist dann erneut und verschärft den Satz von Collingwood: Überdeckt die von einer meromorphen Funktion \(f(z)\) \((|z|< R \leqq\infty)\) erzeugte Riemannsche Fläche die \(\varepsilon\)-Umgebung von \(w = a\) mit höchstens \(N\)-blättrigen und nur über \(a\) verzweigten Flächenstücken, dann bleibt die Schmiegungsfunktion für \(r\to R\) \[ m\bigg(r, \dfrac1{f-a}\bigg)\leqq cN \qquad (c = \text{numerische Konstante}). \]
Aus dem Hilfssatz kann aber vor allem eine wichtige Umkehrung des zweiten Hauptsatzes der Wertverteilungslehre erschlossen werden, sogar mit überraschend einfachen Rechnungen. Sie läuft darauf hinaus, daß z. B. bei Flächen, die nur über endlich vielen Grundpunkten \(a_1,\ldots, a_q\) verzweigt und von meromorphen Funktionen \(f(z)\) erzeugt sind, die Schmiegungsfunktion (und damit die Charakteristik) der Ableitung \(f'\) eine obere Schätzung gestattet: \[ m\bigg(r, \dfrac1{f'}\bigg) \leqq \sum\limits_{\gamma=1}^q m\bigg(r,\dfrac1{f-a_\gamma}\bigg) + \log r + \text{const}. \] (Eine analoge untere Schätzung liefert den zweiten Hauptsatz.) Eine Abschätzung nach oben für \(m\bigg(r, \dfrac1{f'}\bigg)\) gelingt allgemeiner stets dann, wenn je zwei Windungspunkte auf der Fläche festen positiven Mindestabstand haben; dann erscheinen rechts Integrale der Bauart, wie sie die Schmiegungsfunktion zeigt.
Man kann zwar aus dem Teichmüllerschen Umkehrsatz nicht folgern, daß die Defekt- und Indexsumme über alle \(a_\gamma\) die Defektschranke (bei gebrochenen Funktionen 2) wirklich erreiche; das kann, wegen der Aufspaltung des Grenzübergangs mit mehreren Summanden, in der Tat ausbleiben. Aber der Quotient \(\bigg(\sum\limits_1^q m + \sum\limits_1^q N_1\bigg): T\) wird dann gegen die Defektschranke streben – ein sehr bemerkenswerter Fortschritt.
Es darf nicht unerwähnt bleiben, daß Ahlfors mit den ganz andersartigen Mitteln seiner metrisch-topologischen Theorie der Überlagerungsflächen verwandte Aussagen gegeben hat (Acta math., Uppsala, 65 (1935), 157-194 (JFM 61.0365.*-366), bes. S. 183-184).

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