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Abbildungseigenschaften der arithmetischen Mittel der geometrischen Reihe. (German) JFM 63.0264.01

Die geometrische Reihe \[ w=\frac z{1-z}=z+z^2+\cdots \] bildet ihren Konvergenzkreis \(|z|\leqq1\) auf die schlichte Halbebene \(\mathfrak R\{w\}\geqq-\frac12\) ab, während keine ihrer Teilsummen \[ s_n(z) = z + z^2 +\cdots + z^n \qquad (n=2,3,\ldots) \] in \(|z|\leqq 1\) schlicht ist (L. Fejér, Acta Litt. Sci. Univ., Szeged, Sect. Sci. math. 4 (1928), 14-24; F. d. M. 54, 233 (JFM 54.0233.*)). Dagegen läßt sich einem Satz von Fejér (J. Math. Phys. Massachusetts 13 (1934), 1-17; F. d. M. \(60_{\text I}\), 232) entnehmen, daß die arithmetischen Mittel dritter (und höherer) Ordnung der \(s_n(z)\) in \(|z|\leqq 1\) schlicht sind. Darüber hinaus zeigt nun Verf. in der vorliegenden Note:
(1) Die arithmetischen Mittel erster Ordnung \(\dfrac{s_n^{(1)}(z)}n\) der \(s_n(z)\) sind in \(|z|\leqq 1\) schlicht, sogar sternförmig bzgl. des Randpunkts \(w =\dfrac{s_n^{(1)}(1)}n\). Alle \(s^{(1)}_n(z)\) (\(n = 2, 3,\ldots\)) haben den genauen Schlichtheitsradius eins.
(2) Die arithmetischen Mittel zweiter Ordnung sind in \(|z|\leqq1\) schlicht und sternförmig in bezug auf jeden Punkt eines gewissen Bereichs, der \(w = 0\) im Innern enthält; sie sind dagegen nicht konvex in \(|z|\leqq 1\).
(3) Die arithmetischen Mittel dritter Ordnung sind in \(|z|\leqq1\) schlicht und konvex; sie haben (für \(n=2, 3,\ldots\)) den genauen Konvexitätsradius eins.
Schließlich wird für die geometrische Reihe \[ w=\frac z{1-z^2}=z+z^3+\cdots, \] bei der weder die Teilsummen noch deren arithmetische Mittel erster Ordnung in \(|z|\leqq 1\) schlicht sind, während nach Fejér die Mittel zweiter (und höherer) Ordnung schlicht sind, gezeigt, daß die Mittel zweiter Ordnung für \(|z|\leqq1\) sternförmig in bezug auf \(w=0\) sind und den genauen Sternförmigkeitsradius eins haben. (IV 4 H.)

Citations:

JFM 54.0233.*
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