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Über den Noetherschen Fundamentalsatz. II: Allgemeiner Fall. (German) JFM 63.0054.01

Man vergleiche zu diesem Referat das des ersten Teils der Arbeit (Math. Ann. 111 (1935), 425-431; JFM 61.0690.*). In dem dort besprochenen Beweis des sog. “kleinen” Noetherschen Fundamentalsatzes wurde wesentlich folgende einfache Gradabschätzung für die Anfangspolynome (d. h. die Polynome der Glieder niedrigsten Grades) von \(R(x, y)\) und \(S(x, y)\) in der Darstellung \(\varrho (y)F_3 \equiv RF_1 + SF_2\) (\(\varrho (y)\) die Resultante von \(F_1\) und \(F_2\)) benutzt: Haben die Anfangspolynome von \(F_1\) und \(F_2\) die Grade \(p\) und \(q\) und das von \(RF_1 + SF_2\) mindestens den Grad \(p + q\), so haben die Anfangspolynome von \(R\) und \(S\) mindestens den Grad \(q\) bzw. \(p\). Dies gilt aber nur unter der den “kleinen” Noetherschen Fundamentalsatz charakterisierenden Voraussetzung, daß \(F_1\) und \(F_2\) in keinem gemeinsamen Punkt eine gemeinsame Tangente haben. Trotzdem kann der Beweis im allgemeinen Fall im wesentlichen ebenso geführt werden wie in diesem Spezialfall, wenn man statt der oben genannten Bemerkung folgenden Hilfssatz benutzt: Sind \(F_1\) und \(F_2\) teilerfremd und gilt formal \(c \equiv aF_1\equiv bF_2\), wobei \(a, b\) und \(c\) Potenzreihen in \(x\) und \(y\) sind, so ist das Anfangspolynom von c durch das Produkt der Anfangspolynome von \(F_1\) und \(F_2\) teilbar. (In einem Zusatz bei der Korrektur wird gezeigt, daß sogar \(c\) durch \(F_1F_2\) teilbar, also \(c = hF_1F_2\) ist.) Die Anfangspolynome von \(c, a\) und \(b\) haben dabei mindestens die Grade \(p + q, q\) und \(p\). (V5D.)

Citations:

JFM 61.0690.*
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References:

[1] W. van der Woude, Über den Noetherschen Fundamentalsatz, Math. Annalen111, (1935), S. 425–431. · JFM 61.0690.10
[2] B. L. v. d. Waerden Ein neuer Beweis des Restsatzes, Math. Annalen111 (1935), S. 432–437. · Zbl 0012.11903
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