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Foundations of the calculus of systems. II. (Grundzüge des Systemenkalküls. II.) (German) JFM 62.0038.02

In dieser Abhandlung, welche eine Fortsetzung der Arbeit in Fundam. Math. Warszawa, 25 (1935), 503-526 (vorangehendes Referat) ist, definiert Verf. zuerst zwei Begriffe im Kalkül der deduktiven Systeme, nämlich ”unzerlegbares System” und “vollständiges System”. Ein System heißt unzerlegbar, wenn ein echtes Teilsystem davon stets mit dem System der logischen Formeln identisch ist; ein System heißt vollständig, wenn ein echtes Obersystem davon stets mit dem ganzen System der sinnvollen Aussagen identisch ist. Einige Sätze über die Klassen \(\mathfrak U\) und \(\mathfrak V\) der unzerlegbaren bzw. der vollständigen Systeme werden bewiesen. Zwischen \(\mathfrak U\) und \(\mathfrak V\) besteht ein duales Entsprechen, obwohl nicht genau; z. B. ist jedes System ein Produkt von vollständigen Systemen, während nicht alle Systeme Summen unzerlegbarer Systeme sind. Weiter gibt Verf. einige Sätze über die verschiedenen Möglichkeiten betreffs der Kardinalzahlen der Klasse \(\mathfrak S\) aller deduktiven Systeme, der Klasse \(\mathfrak A\) aller axiomatisierbaren Systeme usw. Besonders wichtig ist das Paar \((\mathfrak a, \mathfrak n)\), wo \(\mathfrak a\) und \(\mathfrak n\) die Mächtigkeit der Klasse aller vollständigen axiomatisierbaren Systeme bzw. der Klasse aller vollständigen nicht-axiomatisierbaren Systeme sind.
Diese Betrachtungen werden danach auf einige spezielle deduktive Theorien angewandt, nämlich besonders die Theorie der dichten Anordnung und die Theorie der isolierten Anordnung. Unter Hinweis auf eine Methode des Ref. (Untersuchungen über die Axiome des Klassenkalküls, Vidensk.-selsk. Skr., mat.-nat. Kl., Kristiania, 1919, Nr. 3, insbes. S. 29), die auch von C. H. Langford (Ann. Math., Princeton, (2) 28 (1926), 16-40; F. d. M. 52, 48 (JFM 52.0048.*)-49) benutzt worden ist, findet Verf., daß in der Theorie der dichten Anordnung die Klasse (\(\mathfrak S\) sechzehn verschiedene Systeme enthält, welche mit näherer Beschreibung ihrer Beschaffenheit angegeben werden. Solche Ergebnisse teilt er auch mit für die isolierte Anordnung; es gibt dann unendlich viele Systeme. Ähnliche Bemerkungen macht Verf. auch über einige andere Theorien.
In einem Anhang wird unter anderem gezeigt, daß solche Eigenschaften der Ordnungstypen wie Abzählbarkeit, Stetigkeit und Wohlordnung sich nicht in der Sprache der elementaren Theorie der Anordnung ausdrücken lassen, also wenn die benutzten logischen Variablen nur Individuenvariablen sind.

Citations:

JFM 52.0048.*
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