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On convergent Poisson convolutions. (English) JFM 61.0465.02

Es sei \(a > 0, \, 0 < q < 1\), und \(\pi(x)=\pi(x;a,q)\) bezeichne diejenige Verteilungsfunktion, die in den Intervallen \((-\infty, 0),\, (0, a), \, (a, \infty)\) bzw. die Werte \(0,1-q,1\) hat. Das Poissonsche Gesetz über seltene Ereignisse hat mit den Faltungen aus solchen \(\pi(x)\) zu tun.
Verf. zeigt nun zunächst, indem er sich auf ein früheres Ergebnis stützt [B. Jessen und A. Wintner, Trans. Am. Math. Soc. 38, 48–88 (1935; JFM 61.0462.03; Zbl 0014.15401)], daß die Konvergenz von \(\sum\limits_{1}^{\infty} a_n q_n\) die absolute Konvergenz der unendlichen Poissonschen Faltung \[ \varrho(x)=\pi_1(x) \ast \pi_2(x) \ast \ldots \ast \pi_n(x) \ast \ldots \qquad \left( \pi_n(x)=\pi(x;a_n,q_n) \right) \] sichert. Das Spektrum besteht aus \(x = 0\) und der Hülle zu allen endlichen Summen \(a_i+a_j+a_k+ \ldots + a_t\). Das Spektrum ist also dann und nur dann beschränkt wenn die \(\sum a_n\) konvergiert. Obschon \(\varrho(x)\) nicht längs der reellen Achse analytisch sein kann, so gilt doch:
Es sei für jedes \(\delta > 0\) und \(n > N_{\delta}\) \[ n^{-\delta - \lambda} < a_n < n^{\delta - \lambda}, \qquad n^{-\delta - \nu} < q_n < n^{\delta - \nu}, \qquad (\frac{1}{2}<\nu<1<\lambda + \nu). \] Dann besitzt \(\varrho(x)\) für jedes \(x\) Ableitungen beliebig hoher Ordnung, und für die Fouriersche Transformierte von \(\varrho\) gilt \[ L(t;\varrho) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{itx} \, d \varrho(x) = O\left( e^{-|t|\gamma} \right), \; \gamma < \frac{1-\nu}{\lambda}, \; |t| \to \infty . \] Die Ungleichungen für \(\nu\) und \(\lambda\) sind im wesentlichen die besten ihrer Art.
Ein ähnlicher Satz wird für unendliche Bernoullische Faltungen hergeleitet [A. Wintner, Am. J. Math. 56, 659–663 (1934; JFM 60.0463.02; Zbl 0010.05905)].

MSC:

60-XX Probability theory and stochastic processes
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