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Über die Anzahl der Primzahlen eines reellquadratischen Zahlkörpers, deren Konjugierte unterhalb gegebener Grenzen liegen. (German) JFM 61.0172.01

Verf. berechnet die Anzahl der Primzahlen \(\omega\) in einem reell quadratischen Zahlkörper, welche den Bedingungen \[ 0 < \omega\leqq Y, \qquad 0 < \overline{\omega}\leqq Y' \] genügen, wo \(Y\) und \(Y'\) positive Zahlen mit \(YY' > 2\) sind. Als Zusatzbedingung verlangt er noch \[ \omega\equiv\varrho \qquad (\mod\, \mathfrak{a}), \] wobei \(\mathfrak{a}\) ein beliebiges Ideal des Körpers und \(\varrho\) eine zu \(\mathfrak{a}\) teilerfremde Zahl des Körpers ist. Es ergibt sich für die gesuchte Anzahl \[ \begin{gathered} \dfrac{1}{2\varphi (\mathfrak{a})h\log\,\eta} \log\, YY' \int\limits_2^{YY'}\dfrac{dt}{(\log\, t)^2} + BYY'e^{-c\sqrt{\log YY'}} \\ (\eta \;\text{Grundeinheit des Körpers}, h \text{ Klassenzahl}). \end{gathered} \]
Der Beweis stützt sich auf einen früheren Satz des Verf., in dem die Anzahl der totalpositiven Primzahlen \(\omega\) berechnet wird, die den Bedingungen \[ N(\omega )\leqq x, \;\omega\equiv\varrho (\text{mod }\mathfrak{a}), \qquad q_1 < \dfrac{\omega'}{\omega}\leqq q_2 \] genügen. Hierbei sind \(q_1, q_2\) zwei positive Zahlen, für welche \(1 < \dfrac{q_2}{q_1} < \eta_{\mathfrak{a}}^2\) gilt, wo \(\eta_{\mathfrak{a}} > 1\) die totalpositive Grundeinheit (mod \(\mathfrak{a}\)) ist.
Die Primzahlen \(\omega\), deren Anzahl im Hauptsatz bestimmt wird, werden nun derart in Klassen eingeteilt, daß der Hilfssatz auf die einzelnen Klassen anwendbar wird.

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