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Über die Begründung der Mengenlehre. (German) JFM 60.0034.02

Verf. meint, daß die modernen Versuche zur Begründung der Mengenlehre einseitig sind, weil sie wesentlich axiomatisch getrieben werden. Er sagt, daß die Mengenaxiomatik nicht die auf sie gestellten Hoffnungen erfüllt hat; es ist nicht gelungen, die Cantorsche Mengenlehre “soweit sie widerspruchsfrei ist”, axiomatisch zu erfassen. Dem Ref. kommt es allerdings vor, daß dies ebenso gut auf Unvollkommenheiten der Mengenlehre deuten kann, wie auf Mängel der Axiomatik. Weiter versucht Verf. zu zeigen, daß die Antinomien nicht verlangen, daß man den Cantorschen Mengenbegriff aufgibt. Ref. findet die diesbezüglichen Betrachtungen des Verf. nicht stichhaltig. Freilich kann man, wie Verf. es tut, die Russellsche Antinomie dadurch beseitigen, daß man die Menge aller Mengen verbietet; aber schon dieses Verbot ist eine Einschränkung des ursprünglichen Mengenbegriffs, und die Frage entsteht, wann ein auf Grund der Beziehung “Element von” gebildeter logischer Ausdruck wirklich zu einer Menge Anlaß gibt und wann nicht. Weiter “erklärt” Verf. die Antinomie Burali-Fortis dadurch, daß es verboten sein soll, die Menge aller wohlgeordneten Mengen zu bilden. Dann kann man aber nicht einmal wissen, ob es richtig ist, die Menge aller endlichen wohlgeordneten Mengen zu bilden; man müßte nämlich zuerst wissen, daß die endlichen wohlgeordneten Mengen nicht alle wohlgeordneten sind, d. h. man müßte schon wissen, daß unendliche wohlgeordnete Mengen existieren. Aber wie soll man umgekehrt das letztere wissen, ohne zuerst solche Mengen wie die Zahlreihe bilden zu können? Was die wohlgeordneten Mengen betrifft, meint Verf. offenbar, alle Zweifel überwinden zu können durch die Aufstellung von Erzeugungsprinzipien. Er beschäftigt sich in der letzten Hälfte seiner Abhandlung ausführlich mit diesen “Konstruktionsmitteln”. Es scheint dann, daß er dadurch selbst auf eine Art Axiomatik zurückkommt, wenn es auch keine konsequent durchgeführte Mengenaxiomatik ist. Zum Schlusse sagt er, daß er es nicht ausgeschlossen findet, daß man mit Hilfe seines “konstruktiven Aufbaues” der Ordnungszahlen vielleicht sogar einmal das Kontinuumproblem lösen wird. Ref. möchte im Gegenteil sagen, daß er kaum glauben kann, daß man zur Klarheit über den logischen Inhalt und die Fragen der Mengenlehre kommen wird, so lange man den Mengenbegriff nicht präzisieren will, so wie es von einigen Forschern in der letzten Zeit vorgeschlagen worden ist. (I 2.)
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