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A boundary value problem for the heat equation. (English) JFM 59.1146.01

Bekanntlich spielt für die Behandlung der Wärmeleitungsgleichung \[ \frac {\partial ^2u}{\partial x^2}-\frac {\partial u}{\partial y}=0 \tag{1} \] die Untersuchung von Integralen über die Funktion \[ U(x, y, \xi, h)= \begin{cases} [4\pi (y-h)]^{-\tfrac 12}e^{\tfrac {-(x-\xi )^2}{4(y-h)}} \quad &\text{für} \quad y>h, \\ 0 &\text{für} \quad y\leqq h, \end{cases} \] bzw. über Ableitungen dieser Funktion eine grundlegende Rolle. Verf. erweitert diese Untersuchungen nun dahin, daßer entsprechende Stieltjessche Integrale betrachtet, und gelangt so zu Verallgemeinerungen bekannter Resultate über Grenzwerte bzw. Unstetigkeiten der genannten Integrale. Ist ferner \(D\) der durch die Geraden \(y=h\) und \(y=l\) \((h<l)\) und die Kurven \(x=\chi _i(y)\) \((i=1, 2)\) begrenzte endliche Bereich, so verallgemeinert Verf. die bekannte Randwertaufgabe von (1) dahin, daßer vor dem auf der Geraden \(y=h+\delta \) zwischen den Abszissen \(x_2>x_1\) erstreckten Integral über die Lösung verlangt, daßes mit \(\delta \to 0\) gegen \(B(x_2)-B(x_1)\) konvergiert, wo \(B(x)\) eine gegebene Funktion ist, und entsprechende Forderungen für die Annäherung an die Kurven \(x=\chi _i(y)\) aufstellt. Die Lösung dieser Aufgabe wird unter Benutzung der erhaltenen Resultate durch Aufstellung und Lösung einer Integralgleichung für die “Belegungen” erbracht.

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