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Zur Entstehung der Turbulenz bei der Plattenströmung. (German) JFM 59.0767.03

Bei der Stabilitätsuntersuchung einer laminaren Strömung nach der Methode der kleinen Schwingungen denkt man sich der vorgegebenen Strömung kleine Störungen in Form einer in der Hauptströmungsrichtung fortschreitenden Wellenbewegung überlagert. Die Störungsbewegung wird nach Fourier in Partialschwingungen zerlegt; für die Störungsamplituden erhält man dann aus den Navier-Stokesschen Bewegungsgleichungen die Strömungsdifferentialgleichung. Die Ermittlung der Anfachung einer gegebenen Störung erweist sich als ein Eigenwertproblem dieser Gleichung, derart, daß man zu jedem Paar von Werten für die räumliche Kreisfrequenz der Störung und der Reynoldsschen Zahl einen Wert \(\beta _i\) erhalten kann, dessen Imaginärteil über die Anfachung oder Dämpfung der betreffenden Störung entscheidet. Früher hat Tollmien (1929; F. d. M. \(55_{\text{I}}\), 474) dieses Problem für den Spezialfall \(\beta _i = 0\) gelöst und dadurch diejenigen Störungen erhalten, die gerade an der Grenze zwischen Stabilität und Labilität liegen. Es zeigt sich, daß die Wellenlänge der instabilen Störungen etwa von der Größenordnung der 30-fachen Verdrängungsdicke der Grenzschicht sind. Durch Fortbildung dieser Rechnungen konnte näherungsweise die Anfachung der instabilen Störungen berechnet werden. Dadurch wurde eine Kurvenschar \(\beta _i = \text{const}\) erhalten. Verfolgt man eine Störung auf ihrem Wege längs der Platte, so durchläuft sie, indem sie sich mit der Gruppengeschwindigkeit fortpflanzt, zunächst einen stabilen Bereich, tritt dann mit einer bestimmten Amplitude in den instabilen Bereich ein, den sie mit einer andern Amplitude wieder verläßt. Das maßgebende Maß für die Anfachung ist deren größtmöglicher Wert, unter Zulassung aller möglichen Frequenzen der Störungen; für diesen wird eine einfache Interpolationsformel gegeben. Die beobachteten Werte für die Stabilitätsgrenze liegen bei Anfachungen, die durchaus aus den langen instabilen Störungswellenlängen erklärt werden kann.

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Full Text: EuDML