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Über parabolische Risse. (German) JFM 59.0595.06

In früheren Arbeiten hat Verf. eine auf L. Eckhart zurückgehende Verallgemeinerung der kinematischen Abbildung von W. Blaschke und J. Grünwald untersucht. Die Raumgeraden wurden dabei mit Hilfe von zwei “projizierenden” Regelscharen zweiten Grades (\(S\)), (\(T\)) auf die geordneten Geradenpaare der Ebene \(\pi \) abgebildet. Sind (\(S\)), (\(T\)) insbesondere die beiden Regelscharen derselben ”Kernfläche” zweiten Grades \(\varPhi \), so heißen die Risse “konjugiert”. In dieser Arbeit wird der Fall einer eineindeutigen Abbildung des Strahlenraumes mittels konjugierter Risse untersucht. Es muß dazu \(\varPhi \) in ein Doppelpaar \(\varrho _{1,2}, r_{1,2}\;(\varrho _1\varrho _2=r_1r_2=R)\) ausarten, während (\(S\)), (\(T\)) in zwei verschränkte Strahlenbüschel-Paare übergehen. Die Risse \(G', G''\) einer Geraden \(G\) allgemeiner Lage sind dann die \(\pi \)-Strahlen der Kongruenzen, welche \(G\) enthalten, und deren Brennstrahlen \(S\)- bzw. \(T\)-Strahlen sind. Diese Risse heißen “parabolische”, und zwar von pseudoeuklidischem oder euklidischem Typus, je nachdem die Paare \(\varrho _{1,2}, r_{1,2}\) reell oder konjugiert imaginär sind.
Das Koinzidenzgebilde bei parabolischen Rissen besteht aus dem Feld \(\pi \), dem zu \(\pi \) \(\varPhi \)-polaren Bündel \(p\) und dem “\(\pi \)-Gürtel” (\(=\) Strahlen in \(\varrho _{1,2}\) und durch \(R\pi \)). Einer Umorientierung aller Rißpaare entspricht im Raum eine Spiegelung an \(p, \pi \). Die Risse der Strahlen eines ebenen Feldes lassen sich durch zwei Netzprojektionen bestimmen. Einem Strahlenbüschel allgemeiner Lage sind zwei zu ihm projektive Bild-Büschel zugeordnet. Umgekehrt liegen die zu einem gegebenen Rißpunkt gehörigen Original-Büschel in einem linearen Komplex, die zu einem gegebenen Bildpunktepaar gehörigen Original-Büschel in einer linearen Kongruenz mit \(\varPhi \)-polaren Brennstrahlen.
Die Kernkurve \(\varDelta \), die \(\pi \)-Spur von \(\varPhi \), ist im parabolischen Fall ein Geradenpaar, ihre automorphen (oder \(\varDelta \)-)Kollineationen daher dual zu den Ähnlichkeitstransformationen der euklidischen Geometrie. Nach Festlegung einer geeigneten Maßbestimmung in \(\pi \) werden die \(\varDelta \)-Kollineationen dementsprechend nach den zu ihnen dualen Typen der Ähnlichkeitstransformationen bezeichnet. Die nicht singulären Ebenen des \(R_3\) erscheinen dann umkehrbar eindeutig auf die euklidischen bzw. pseudoeuklidischen starren Transformationen vom Typus der Bewegungen abgebildet. Die singulären Ebenen lassen sich eineindeutig durch gewisse zweifach singuläre \(\varDelta \)-Kollineationen festlegen. Umgekehrt entspricht der Gesamtheit der Strahlenpaare einer gegebenen Bewegung in \(\pi \) als Originalgebilde im Raum ein Strahlenfeld \(\alpha \), das zu \(\alpha \) \(\varPhi \)-polare Bündel \(\bar a\) und der “\(\alpha \)-Gürtel” (\(=\) Strahlen in \(\varrho _{1,2}\) und durch \(\alpha R\)). Analog wird die Abbildung der Punkte (Strahlenbündel) des \(R_3\) untersucht, welchen die starren Transformationen von \(\pi \) vom Typus der Umlegungen entsprechen.
In Verallgemeinerung der Beziehung zwischen den starren \(\varDelta \)-Kollineationen von \(\pi \) einerseits und den Strahlen-Feldern bzw. -Bündeln des \(R_3\) andrerseits wird die Beziehung der beliebigen eigentlichen und uneigentlichen \(\varDelta \)-Kollineationen auf gewisse Originalkongruenzen des Raumes eingehend behandelt. Schließlich wird gezeigt, wie man durch Ersatz des ebenen Bildgebietes der parabolischen Bisse durch ein Strahlenbündel die projektiv allgemeinste Abbildung vom Typus der kinematischen (Blaschke-Grünwald) erhalten kann, wodurch auch für diese ein neues Konstruktionsverfahren gewonnen ist.

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References:

[1] I. F. Rehbock, Die linearen Punkt-, Ebenen- und Strahlabbildungen der darstellenden Geometrie. Zeitschr. f. angew. Math. u. Mech.6 (1926), Nr. 5, S. 379-400. II. F. Rehbock, Projektive Aufgaben einer darstellenden Geometrie des Strahlenraumes. Ebenda Zeitschr. f. angew. Math. u. Mech.6 (1926), Nr. 6, S. 449-468. III. F. Rehbock, Zur Abbildung des Punkt- und Ebenenraumes auf die Kinematik der hyperbolischen und elliptischen Ebene. Monatshefte f. Math. u. Phys.38, 2. Heft, S. 257-274. · JFM 52.0621.03 · doi:10.1002/zamm.19260060505
[2] L. Eckhart, Über die Abbildungsmethoden der darstellenden Geometrie. Sitzungsber. d. Akad. d. Wiss. in Wien, Math.-nat. Kl., Abt. IIa,132 (1923), 5. und 6. Heft. Vgl. ferner L. Eckhart, Konstruktive Abbildungsmethoden. Wien 1926. · JFM 49.0421.06
[3] Vgl. den Auszug eines vom Verfasser in Hamburg 1928 gehaltenen Vortrages. Jahresber. d. D. M. V.38 (1929), S.11.
[4] W. Blaschke, Euklidische Kinematik und nicht-euklidische Geometrie. Zeitschrift f. Math. Phys60 (1911), S. 61-91, 203 f. J. Grünwald, Ein Abbildungsprinzip, welches die ebene Geometrie und Kinematik mit der räumlichen Geometrie verknüpft. Sitzungsber. Akad. Wien, Abt. IIa,120 (1911), S. 677-741.
[5] F. Rehbock, Zur Abbildung des Punkt- und Ebenenraumes auf die Kinematik der hyperbolischen und elliptischen Ebene. Monatshefte f. Math. u. Phys.38, 2. Heft, S. 257-274. · JFM 57.0786.01
[6] Vgl. über diese Bezeichnung: F. Klein, Vorlesungen über nicht-euklidische Geometrie, bearbeitet von W. Rosemann, S. 90. Berlin 1928.
[7] Das Koinzidenzgebilde ist die Gesamtheit jener Strahlen, deren Risse zusammenfallen:G?=G?.
[8] F. Rehbock, Projektive Aufgaben einer darstellenden Geometrie des Strahlenraumes. Zeitschr. f. angew. Math. u. Mech.6 (1926), S. 449-468, § 8. · JFM 52.0621.04 · doi:10.1002/zamm.19260060603
[9] D. h. ein Strahl, derR 1 oderR 2 schneidet!
[10] Vgl. die zitierte Arbeit I, § 3.
[11] F. Rehbock, Die linearen Punkt-, Ebenen- und Strahlabbildungen der darstellenden Geometrie. Zeitschr. f. angew. Math. u. Mech.6, S. 379-400, § 3. · JFM 52.0621.03
[12] Bei einereigentlichen automorphen Kollineation des StrahlenpaaresR 1,R 2 bleibenR 1 undR 2 einzeln fest, bei eineruneigentlichen werden sie vertauscht. F. Klein, Vorlesungen über nicht-euklidische Geometrie, bearbeitet von W. Rosemann, 1928, S. 94.
[13] Eine Involution, die durch ein Paar konjugiert imaginärer und ein Paar reeller Elemente bestimmt ist, ist stets reell und hyperbolisch.
[14] F. Rehbock, Die linearen Punkt-, Ebenen- und Strahlabbildungen der darstellenden Geometrie. Zeitschr. f. angew. Math. u. Mech.6, S. 379-400, § 7; siehe auch S. 464; Satz 9. · JFM 52.0621.03
[15] D. h. die involutorische Perspektivität mit dem Fixbüdelp und dem Fixfelde ?.
[16] F. Rehbock, Monatsh. f. Math. u. Phys.38, S. 258 ff., Satz 2a.
[17] Man beachte: Um denS-Riß von ? herzustellen, benutzt man jetzt eineT-Kongruenz.
[18] Dabei ist die Punktreihe (x) aufT 1 projektiv zum Büschel (G?) ina 2, die Punktreihe (y) aufS 2 projektiv zum BüschelG? ina 1.
[19] Vgl. die im Jahresber. d. D. M. V. 1932, S. 255-269 erschienene Arbeit des Verfassers: Zur ebenen Strahlengeometrie vom euklidischen oder pseudoeuklidischen Typus.
[20] In den Fig. 5 bis 8 sind die Linien deren Punktekeine Dreieckskollineationen darstellen, doppelt gezeichnet.
[21] Der Name ?Umdrehung? muß für diese ?axiale Spiegelung? hier deshalb gewählt werden, weil der duale Fall der Punktgeometrie, die ?zentrale Spiegelung?, dort zweckmäßig so genannt wird.
[22] Die Bezeichnung stammt von Weyl.
[23] Vgl. die in Fußnote20) im Jahresber. d. D. M. V. 1932, auf S. 30 zitierte Arbeit des Verfassers.
[24] Rehbock, Zur Abbildung des Punkt- und Ebenenraumes auf die Kinematik der hyperbolischen und elliptischen Ebene. Nr. 12, Satz 6. · JFM 57.0786.01
[25] Ein Punkt heißek-fach singulär, wenn ihm in einer Punktverwandtschaft die Punkte einerk-parametrigen Punkteschar als Bilder zugeordnet werden.
[26] D. h. jedem Punkt aufR 1,R 2 oder jedem Strahl durchr.
[27] Vgl. auch die Schlußbemerkung in Nr. 17.
[28] Dreht sichG? umr, so bleibt also der einzige in Frage kommende Originalstrahl?nämlichR?zunächst fest, bisG=R 1, wird. Jetzt beschreibtG das Büschel [u 2,?1], bleibt dann wieder fest=R bisG?=R 2, wird undG also das Büschel [u 1,?1] durchläuft. Man beachte besonders: DemBüschel [u 2,?1] werden zwar alleR 1-Punkte als erster Riß zugeordnet, einem zerfallendenRegulus aber, der dieses Büschel enthält. nurein R 1-Punkt.
[29] Vgl. Rehbock, Zur ebenen Strahlengeometrie vom euklidischen oder pseudoeuklidischen Typus. Jahresber. d. d. M. V.41 (1932), S. 255-269. · Zbl 0004.36204
[30] Vgl. Nr. 10.
[31] Im euklidischen Fall sind diese Typen imaginär. Doch gelten natürlich auch hierfür die folgenden Betrachtungen.
[32] Vgl. die in Fußnote20) auf S. 30 zitierte Arbeit des Verfassers, § 3, II.
[33] Es könnte eingewendet werden, daß eine Ausartung, wie die vorliegende, ?trivial? und für praktische Zwecke nutzlos ist. Diese Auffassung erscheint mir verfehlt. Die immer wiederkehrende Frage bei Zwei-Rißsystemen der darstellenden Geometrie ist die folgende: Man kennt den ersten Riß eines Raumgebildes (in diesem Falle z. B.z? als Bild einer Regelschar), und man möchte, ohne in den Raum zurückzugehen, eine präzise Aussage darüber haben, welche Elemente des Bildgebietes als zweite Risse in Frage kommen. Diese Aussage wird in den vorliegenden Fällen gegeben, indem manz? mit Hilfe der auftretenden Bildkollineation transformiert. Gerade die unter Umständen dabei auftretende Mehrdeutigkeit vonz? ist dann für Konstruktionszwecke wesentlich, etwa für die Frage, ob eine bestimmte, mit den Rissen vorzunehmende Konstruktion ausführbar ist oder nicht.
[34] Vgl. etwa Sturm, Die Lehre von den geometrischen Verwandtschaften, 1908, I. § 29. · JFM 39.0604.01
[35] Eine zusammenfassende Darstellung findet sich bei E. Müller, Vorlesungen über darstellende Geometrie. I. Band: Die linearen Abbildungen. Wien 1923, S. 240 ff.
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