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Über den transfiniten Durchmesser ebener Punktmengen. III. (German) JFM 59.0097.01

Wie der Verf. in zwei früheren Arbeiten desselben Titels (1930; JFM 56.0090.*, 112) gezeigt hat, ist der transfinite Durchmesser ebener Punktmengen eine für alle abgeschlossenen beschränkten Mengen \(\mathfrak M\) definierte, nicht negative Mengenfunktion \(d\{\mathfrak M\}\) mit folgenden Eigenschaften:
(1) Ist \(\mathfrak N\) in \(\mathfrak M\) enthalten, so ist \[ d\{\mathfrak N\}\leq d\{\mathfrak M\}. \] (2) Ist \(\mathfrak M\) nicht leer und \(\mathfrak M(\varrho )\) die Menge aller Punkte, deren Entfernung von \(\mathfrak M\) kleiner oder gleich \(\varrho (>0)\) ist, so gilt \[ \lim _{\varrho \to +0} d\{\mathfrak M(\varrho )\}=d\{\mathfrak M\}. \]
(3) Ist \(\mathfrak M_p\) die Menge aller (komplexen) \(x\), für die \[ p(x)\equiv x^k+c_1x^{k-1}+\cdots +c_k=z \] der Menge \(\mathfrak M\) angehört, so gilt \(d\{\mathfrak M_p\}=\root {k}\of {d\{\mathfrak M\}}\).
(4) Ist \(\alpha \cdot \mathfrak M\), wo \(\alpha \) eine komplexe Zahl ist, die Menge aller Produkte \(\alpha z\), für die \(z\) zu \(\mathfrak M\) gehört, so ist \[ d\{\alpha \mathfrak M\}=|\alpha |\cdot d\{\mathfrak M\}. \] Das Hauptergebnis der vorliegenden Arbeit ist nun, daß diese Eigenschaften für den transfiniten Durchmesser charakteristisch sind. Mit andern Worten: Jede für alle abgeschlossenen beschränkten Mengen definierte, nicht negative Mengenfunktion mit den Eigenschaften (1), (2), (3), (4) ist der transfinite Durchmesser.
Weiterhin werden alle derartigen Mengenfunktionen \(f\{\mathfrak M\}\) bestimmt, die die Eigenschaften (1), (2), (3), aber nicht notwendig (4) besitzen. Sie lassen sich in einfacher Weise aus dem transfiniten Durchmesser bestimmen: \[ \begin{aligned} f(\mathfrak M)&=[d\{\mathfrak M\}]^\alpha \text{ für } d\{\mathfrak M\}\geq 1;\\ f(\mathfrak M)&=[d\{\mathfrak M\}]^\beta \text{ oder identisch Null für } d\{\mathfrak M\}\leq 1. \end{aligned} \] Hierbei sind \(\alpha \) und \(\beta \) von \(\mathfrak M\) unabhängige willkürliche nicht negative Zahlen.

Citations:

JFM 56.0090.*
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References:

[1] Math. Zeitschr.32 (1930), S. 108-114 und S. 215-221. Ich zitiere im Nachfolgenden diese Mitteilungen unter I bzw. II.
[2] Betreffs der Definition des transfiniten Durchmessers einer nichtleeren Punktmenge s. M. Fekete, Über die Verteilung der Wurzeln bei gewissen algebraischen Gleichungen mit ganzzahligen Koeffizienten; Math. Zeitschr.17 (1923), S. 228-249; S. 231. Der transfinite Durchmesser der leeren Menge hat definitionsgemäß den Wert 0. · JFM 49.0047.01 · doi:10.1007/BF01504345
[3] Er enthält den klassischen Satz von Herrn D. Hilbert, wonach jede einfach geschlossene Kurve sich beliebig fein durch Lemniskaten (von außen) approximieren läßt. Vgl. Göttinger Nachrichten 1897, S. 63-70.
[4] Die hier angewandte Beweismethode stammt von Herrn G. Szegö. Vgl. seinen Aufsatz: Tschebyscheffsche Polynome und nicht fortsetzbare Potenzreihen, Math. Ann.87, (1922), S. 90-111. Vgl. auch G. Szegö. Über den Grad der Approximation einer analytischen Funktion, Sitzungsber. d. Bayer. Ak. d. Wiss., Math. naturw. Abt. 1927, S. 69-71. · JFM 48.0330.03 · doi:10.1007/BF01458039
[5] Siehe M. Fekete, Über Interpolation; Zeitschr. f. angew. Math. u. Mech.6, (1926), S. 410-413; s. insbes. S. 411. · JFM 52.0302.01 · doi:10.1002/zamm.19260060507
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